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第一篇：9利用定义求极限
1．fxlimxx0fxfx0， xx0
fx0hfx0． h2．fx0limh0
其中h是无穷小，可以是xxxx0，x的函数或其他表达式．
例1
求极限x0p0,q0．
0 分析 此题是x0时型未定式，在没有学习导数概念之前，常用的方法是消去分母0
中的零因子，针对本题的特征，对分母分子同时进行有理化便可求解．但在学习了导数的定义式之后，我们也可直接运用导数的定义式来求解．
解 令f
xg
x 则
x0fxf0
lim x0gxg0x0
f0g0p． q
第二篇：8利用洛比达法则求极限
0洛比达法则一般被用来求型不定式极限及型不定式极限．用此种方法求极限要求在0
点x0的空心领域U
例1
求极限lim0x0内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零． 1cosx． xtan2x
xx解 由于lim1cosxlimtan2x0，且有
1cosxsinx，tan2x2tanxsec2x0，
由洛比达法则可得
lim1cosx xtan2x
xlisinx 22tanxsexc
cos3xlimx21． 2
第三篇：7利用等价无穷小量代换求极限
tanxsinx例 8 求极限lim． x0sinx3
解 由于tanxsinxsinx1cosx，而 cosx
x2
sinx~xx0，1cosx~x0，sinx3~x3x02
故有
x2
xtanxsinx11． limlimx0x0cosxsinx3x32
注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的`因式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，如在例题中，若因有tanx~xx0，sinx~xx0，而推出
limtanxsinxxxlim0， x0x0sinx3sinx3
则得到的式错误的结果．
附 常见等价无穷小量
x2
sinx~xx0，tanx~xx0，1cosx~x0， 2
arcsinx~xx0，arctanx~xx0，ex1~xx0，
ln1x~xx0，1x1~xx0．
第四篇：函数的极限及函数的连续性典型例题
函数的极限及函数的连续性典型例题
一、重点难点分析：
①
此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。② 要掌握常见的几种函数式变形求极限。③ 函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。
。④ 计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则
⑤ 若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。
二、典型例题
例1．求下列极限
①
②
③
④
解析：①
。
②。
③。
④
。
例2．已知
，求m,n。
解：由可知x2+mx+2含有x+2这个因式，
∴ x=-2是方程x2+mx+2=0的根，
∴ m=3代入求得n=-1。
例3．讨论函数的连续性。
解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的，又
∴
由
从而f(x)在点x=-1处不连续。
∴ f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。
，， ∴ f(x)在x=1处连续。，
例4．已知函数
试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。
, (a,b为常数)。
解析：∵
且，
∴
，∴ a=1, b=0。
例5．求下列函数极限
①
②
解析：①
。
②
。
例6．设
解析：∵
要使存在，只需，，问常数k为何值时，有存在？。，∴ 2k=1，故 时，存在。
例7．求函数
在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限？
解析：由∵
，，∴ f(x)在x=-1处极限不存在。，
三、训练题：
1．已知，则
2．的值是_______。
3. 已知，则=______。
4．已知
5．已知
，2a+b=0，求a与b的值。，求a的值。
参考答案：1. 3
2.
3.4. a=2, b=-45. a=0
第五篇：4利用等价无穷小代换定理
利用此定理求函数的极限时 ，一般只在以乘除形式出现时使用。若以和或差形式出现时，不要轻易代换 ，因为经此代换后 ，往往会改变无穷小之比的阶数。要用好等价无穷小代换定理 ，必须熟记一些常 用的等价无穷小 。
例1
lim√(1-cosx)/tanx
=lim-√2sin(x/2)/tanx
=lim-√2/2x/x
=-√2/2
lim√(1-cosx)/tanx
=lim√2sin(x/2)/tanx
=lim√2/2x/x
=√2/2
因为lim√(1-cosx)/tanx≠lim=√(1-cosx)/tanx
所以极限不存在
第六篇：极限的四则运算函数的连续性
极限的四则运算函数的连续性
极限的四则运算，函数的连续性
二. 教学重、难点： 1. 函数在一点处连续
2. 函数在开区间，闭区间上连续 3. 连续函数的性质
（1）若与在处连续，则，，（）在处也连续。
（2）最大、最小值，若是[]上的连续函数，那么在上有最大值和最小值，最值可在端点处取得，也可以在内取得。
【典型例题】 [例1] 求下列极限 （1） （2） （3） （4） 解： （1）原式 （2）原式
（3）原式
（4）原式
[例2] 求下列各数列的极限 （1） （2） （3） 解： （1）原式 （2）原式 （3）原式
[例3] 已知数列是正数构成的数列，，且满足，其中是大于1的整数，是正数。
（1）求的通项公式及前项和； （2）求的值。 解：
（1）由已知得
∴ 是公比为的等比数列，则
（2） ① 当时，原式 ② 当时，原式 ③ 当时，原式
[例4] 判定下列函数在给定点处是否连续。 （1）在处； （2），在处。 解： （1），但
故函数在处不连续 （2）函数在处有定义，但 ，即
故不存在，所以函数在点处不连续。
[例5] 已知函数，试求： （1）的定义域，并画出的图象； （2）求，，；
（3）在哪些点处不连续。 解：
（1）当，即时， 当时，不存在 当时， 当时，即或时， ∴
∴ 定义域为（）（），图象如图所示
（2）
∴ 不存在
（3）在及处不连续
∵ 在处无意义 时，
即不存在
∴ 在及处不连续
[例6] 证明方程至少有一个小于1的正根。 证明：令，则在（0，1）上连续，且当时，。 时，
∴ 在（0，1）内至少有一个，使
即：至少有一个，满足且，所以方程至少有一个小于1的正根。
[例7] 函数在区间（0，2）上是否连续？在区间[0，2]上呢？ 解：（且） 任取，则
∴ 在（0，2）内连续，但在处无定义 ∴ 在处不连续，从而在[0，2]上不连续
[例8] 假设，在上不连续，求的取值范围。
解：若函数，在上连续，由函数在点处连续的定义， 必有，因为，
，所以，所以，若不连续，则且。
[例9] 设
（1）若在处的极限存在，求的值； （2）若在处连续，求的值。 解：
（1），，因为在处极限存在，所以，所以，即 （2）因为在处连续，所以在处的极限存在，且 ，由（1）知，且，又，所以。
【模拟试题】 一. 选择题：
1. 已知，则下列结论正确的是（
）
A.
B. 不存在
C. =1
D. = 2. 的值为（
）
A. 5
B. 4
C. 7
D. 0 3. 的值为（
）
A. 1
B. 0
C.
D. 4. 的值为（
）
A.
B.
C. 1
D. 5. 若，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
6. 若在上处处连续，则常数等于（
）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 7. 在点处连续是在点处连续的（
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
8. 的不连续点是（
）
A. 无不连续点
B.
C.
D.
二. 解答题： 1. 求下列极限：
（1）
（2）
（3） 2. 为常数，1，求。
3. 已知
（1）在处是否连续？说明理由； （2）讨论在和上的连续性。
【试题答案】 一. 1. B
2. C
3. C D
二. 1. 解： （1） （2）
① 当时，
∴
② 当时，
∴
③ 当时， （3） 2. 解：∵
∴
∴ ，
4. B
5. C
6. C
7. A
8.
3. 解：
（1）∵ ，则
∴
∵ ，且
∴
∵
∴ 不存在
∴ 在处不连续 （2）∵
∴ 在上是不连续函数 ∵
∴ 在上是连续函数。
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