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第一篇：2利用洛必达法则
洛必达(L Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。
利用洛必达求极限应注意以下几点：
设函数f(x)和F(x)满足下列条件：
（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0;
（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;
（3）x→a时,lim(f(x)/F(x))存在或为无穷大
则 x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f(x)/F(x))
例1：
1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2
xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)
原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x
对分子分母同时求导（洛必达法则）
(tgx) = 1 / (cosx)^2
(x) = 1
原式 = lim 1/(cosx)^2
当 x --> 0 时,cosx ---> 1
原式 = 1
第二篇：4利用等价无穷小代换定理
利用此定理求函数的极限时 ，一般只在以乘除形式出现时使用。若以和或差形式出现时，不要轻易代换 ，因为经此代换后 ，往往会改变无穷小之比的阶数。要用好等价无穷小代换定理 ，必须熟记一些常 用的等价无穷小 。
例1
lim√(1-cosx)/tanx
=lim-√2sin(x/2)/tanx
=lim-√2/2x/x
=-√2/2
lim√(1-cosx)/tanx
=lim√2sin(x/2)/tanx
=lim√2/2x/x
=√2/2
因为lim√(1-cosx)/tanx≠lim=√(1-cosx)/tanx
所以极限不存在
第三篇：7利用等价无穷小量代换求极限
tanxsinx例 8 求极限lim． x0sinx3
解 由于tanxsinxsinx1cosx，而 cosx
x2
sinx~xx0，1cosx~x0，sinx3~x3x02
故有
x2
xtanxsinx11． limlimx0x0cosxsinx3x32
注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的`因式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，如在例题中，若因有tanx~xx0，sinx~xx0，而推出
limtanxsinxxxlim0， x0x0sinx3sinx3
则得到的式错误的结果．
附 常见等价无穷小量
x2
sinx~xx0，tanx~xx0，1cosx~x0， 2
arcsinx~xx0，arctanx~xx0，ex1~xx0，
ln1x~xx0，1x1~xx0．
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