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第一篇：6利用函数连续性
（就是直接将趋向值带出函数自变量中，此时要要求分母不能为0）
描述函数的一种连绵不断变化的状态，即自变量的微小变动只会引起函数值的微小变动的情况。确切说来，函数在某点连续是指：当自变量趋于该点时，函数值的极限与函数在该点所取的值一致。
例1
设 f（x）=xsin 1/x + a,x<0，b+1,x=0，x^2-1,x<0，试求：
当a，b为何值时，f（x）在x=0处的极限存在？
当a，b为何值时，f（x）在x=0处连续？
注：f（x）=xsin 1/x +a, x< 0
b+1, x=0
X^2-1, x>0
解：f(0)＝b+1
左极限：lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0-) (xsin(1/x)＋a)＝0+a＝a
左极限：lim(x→0+) f(x)＝lim(x→0+) (x^2-1)＝0-1＝-1
f(x)在x＝0处连续，则lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0+) f(x)＝f(0)，
所以a＝-1＝b+1，
所以a＝-1，b＝-2
第二篇：函数极限的四则运算法则学案
课题：§13-3函数极限的四则运算法则
（一）
学习目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限
学习重点：运用函数极限的运算法则求极限
学习难点：函数极限法则的运用
学习过程
一、知识复习
1．复习数列极限的四则运算法则(包括乘方的极限的法则)．
2．复习几个简单函数的极限．即：
二、课堂学习
1．指导
对上述定理的证明作简要说明．
2.探究
问题1 根据函数极限定义和函数的图象，说出下列极限，并验证所给结论．
(其中f(x)为有理分函数)．
所以，若f(x)为有理整函数，则有
解：因为当x→x0时，分子、分母皆有极限且分母的极限不为零，因此有
判断下列各极限是否存在？如果存在，求其极限；如果不存在，说明理由．
三、检测
1．求下列极限：
2．求下列极限：
四、学习小结
第三篇：2利用洛必达法则
洛必达(L Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。
利用洛必达求极限应注意以下几点：
设函数f(x)和F(x)满足下列条件：
（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0;
（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;
（3）x→a时,lim(f(x)/F(x))存在或为无穷大
则 x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f(x)/F(x))
例1：
1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2
xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)
原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x
对分子分母同时求导（洛必达法则）
(tgx) = 1 / (cosx)^2
(x) = 1
原式 = lim 1/(cosx)^2
当 x --> 0 时,cosx ---> 1
原式 = 1
第四篇：5柯西收敛准则
数列{Xn}收敛的充分必要条件是对于任意给定的正数ε存在着这样的正整数N使得当m>N,n>N时就有|Xn-Xm|<ε这个准则的几何意义表示，数列{Xn}收敛的充分必要条件是：该数列中足够靠后的任意两项都无限接近。
例1
证明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [(-1)^(n+1)]/n 有极限
证：
对于任意的m,n属于正整数，m>n
|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
当m-n为奇数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m
=(1/n-1/m)→0
由柯西收敛原理得{xn}收敛
当m-n为偶数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m
=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0
由柯西收敛原理得{xn}收敛
综上{xn}收敛，即{xn}存在极限
第五篇：1利用极限的四则运算法则
极限四则运算法则的条件是充分而非必要的 ，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件 ，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者 ，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限 ，而是需将函数进行恒等变形 ，使其符合条件后 ，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。 例 1
求 lim( x 2 3x + 5).
x→ 2
解： lim( x 2 3x + 5) = lim x 2 lim 3x + lim 5
= (lim x) 2 3 lim x + lim 5
= 2 2 3 2 + 5 = 3.
x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2
推荐专题： 函数极限四则运算证明