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函数极限证明

2022-07-20 10:37:30

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《数学分析》教案

第三章 函数极限

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第三章 函数极限

教学目的:

1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念,掌握函数极限的基本性质; 2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性; 3.掌握两个重要极限

,并能熟练运用;

4.理解无穷小(大)量及其阶的概念,会利用它们求某些函数的极限。 教学重(难)点:

本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算;难点是海涅定理与柯西准则的应用。

教学时数:16学时

§ 1 函数极限概念 (3学时)

教学目的:使学生建立起函数极限的准确概念;会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。

教学要求:使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。会应用函数极限的定义证明函数的有关命题,并能运用语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。

教学重点:函数极限的概念。

教学难点:函数极限的定义及其应用。

一、复习:数列极限的概念、性质等

二、讲授新课:

(一) 时函数的极限:

- 21 《数学分析》教案

第三章 函数极限

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例4 验证

例5 验证

例6 验证

证 由 =

为使

需有

需有

为使

于是, 倘限制 , 就有

例7 验证

例8 验证 ( 类似有

(三)单侧极限:

1.定义:单侧极限的定义及记法. 几何意义: 介绍半邻域

- 23 《数学分析》教案

第三章 函数极限

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我们引进了六种极限: .以下以极限

,

为例讨论性质.均给出证明或简证.

二、讲授新课:

(一)函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.

局部有界性:

3.

局部保号性:

4.

单调性( 不等式性质 ):

Th 4 若使 ,证 设

和都有 =

( 现证对 都存在, 且存在点

的空心邻域

,

註: 若在Th 4的条件中, 改“ 就有

5.6.

迫敛性:

”为“ 举例说明.

”, 未必

四则运算性质: ( 只证“+”和“ ”)

(二)利用极限性质求极限: 已证明过以下几个极限:

- 25 《数学分析》教案

第三章 函数极限

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例8

例9

例10 已知

求和

补充题:已知

求和 (

) § 3 函数极限存在的条件(4学时)

教学目的:理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。 教学要求:掌握海涅定理与柯西准则,领会其实质以及证明的基本思路。 教学重点:海涅定理及柯西准则。 教学难点:海涅定理及柯西准则 运用。

教学方法:讲授为主,辅以练习加深理解,掌握运用。 本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限

为例.

一.

Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系:

Th 1 设函数在,对任何在点

的某空心邻域

内有定义.则极限都存在且相等.( 证 )

存Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为

单调趋于

.参阅[1]P70.例1 证明函数极限的双逼原理.

- 27 《数学分析》教案

第三章 函数极限

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教学难点:两个重要极限的证明及运用。

教学方法:讲授定理的证明,举例说明应用,练习。 一.

(证) (同理有

例1

例2 .例3

例4

例5 证明极限 不存在.二.

证 对

例6

特别当 等.例7

例8

- 28

29 《数学分析》教案

第三章 函数极限

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三. 等价无穷小:

Th 2 ( 等价关系的传递性 ). 等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3 ( 等价无穷小替换法则 )

几组常用等价无穷小: (见[2])

例3 时, 无穷小

是否等价? 例4

四.无穷大量:

1.定义:

2.性质:

性质1 同号无穷大的和是无穷大.

性质2 无穷大与无穷大的积是无穷大. 性质3 与无界量的关系.

无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果.

3.无穷小与无穷大的关系:

无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大

习 题 课(2学时)

一、理论概述:

- 31 《数学分析》教案

第三章 函数极限

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例7 .求

.注意 时, 且

.先求

由Heine归并原则

即求得所求极限

.

例8 求是否存在.

和.并说明极限

解 ;

可见极限 不存在.

- - 32

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