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函数极限证明(优秀范文二篇)

2022-07-20 10:36:42

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第一篇:函数极限

习题

1.按定义证明下列极限:

(1) limx6x5=6 ;(2) lim(x2-6x+10)=2; x2x

x251 ;(4) lim(3) lim2xx1x2

(5) limcos x = cos x0 xx04x2=0;

2.根据定义2叙述limf (x) ≠ A.xx0

3.设limf (x) = A.,证明limf (x0+h) = A.xx0h0

4.证明:若limf (x) = A,则lim| f (x)| = |A|.当且仅当A为何值时反之也成立? xx0xx0

5.证明定理3.1

6.讨论下列函数在x0→0 时的极限或左、右极限: (1)f(x)=x

x;(2) f(x) = [x]

2x;x0.(3) f (x)=0;x0.

1x2,x0.

7.设 limf (x) = A,证明limf (xxx01) = A x

8.证明:对黎曼函数R(x)有limR (x) = 0 , x0∈[0,1](当x0=0或1时,考虑单侧极限).xx0

习题

1. 求下列极限:

x21 (1)lim2(sinx-cosx-x);(2)lim; x02x2x1x22

x21x113x;

lim(3) lim;(4)

x12x2x1x0x22x3

xn1(5) limm(n,m 为正整数);(6)lim

x1xx41

(7)lim

x0

2x3x2

70

20

a2xa3x68x5.

(a>0);(8) lim

xx5x190

2. 利用敛性求极限: (1) lim

x

xcosxxsinx

;(2) lim2

x0xx4

xx0

3. 设 limf(x)=A, limg(x)=B.证明:

xx0

(1)lim[f(x)±g(x)]=A±B;

xx0

(2)lim[f(x)g(x)]=AB;

xx0

(3)lim

xx0

f(x)A

=(当B≠0时) g(x)B

4. 设

a0xma1xm1am1xam

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn1

b0xb1xbn1xbn

试求 limf(x)

x

5. 设f(x)>0, limf(x)=A.证明

xx0

xx0

lim

f(x)=A,

其中n≥2为正整数.6.证明limax=1(0n

x0

7.设limf(x)=A, limg(x)=B.

xx0

xx0

(1)若在某∪(x0)内有f(x)

(2)证明:若A>B,则在某∪(x0)内有f(x) > g(x).8.求下列极限(其中n皆为正整数): (1) lim 

x0

x

x11

lim;(2);nnx0x1xx1x

xx2xnn

(3) lim ;(4) lim

x0x0x1

x1

x

(5) lim

x

x(提示:参照例1)

x

x0

x0

x0

9.(1)证明:若limf (x3)存在,则limf (x)= lim f (x3)(2)若limf (x2)存在,试问是否成立limf (x) =limf (x2) ?

x0

x0

x0

习题

1.叙述函数极限limf(x)的归结原则,并应用它证明limcos x不存在.

n

n

2.设f 为定义在[a,+)上的增(减)函数.证明: lim= f(x)存在的充要条件是f在

n

[a,+)上有上(下)界.

3.(1)叙述极限limf (x)的柯西准则;

n

(2)根据柯西准则叙述limf (x)不存在的充要条件,并应用它证明limsin x不存在.

n

n

4.设f在∪0(x0)内有定义.证明:若对任何数列{xn}∪0(x0)且limxn=x0,极限limf(xn)都

n

n

存在,则所有这极限都相等.

提示: 参见定理3.11充分性的证明.

5设f为∪0(x0)上的递减函数.证明:f(x0-0)和f(x0+0)都存在,且f(x0-0) =supf(x),f(x0+0)=

0xu

x0

0xun(x0)

inff (x)

6.设 D(x)为狄利克雷函数,x0∈R证明limD(x)不存在.

xx0

7.证明:若f为周期函数,且limf(x)=0,则f(x)=0

x

8.证明定理3.9

习题

1.求下列极限

sin2xsinx3

(1) lim;(2) lim

x0x0sinx2x

(3) lim

x

cosxx

tanxsinxarctanx

lim(5) lim;(6) ; 3x0x0xx

sin2xsin2a1

(7) limxsin ;(8) lim;

xxaxxa

;(4) lim

x0

tanx

; x

cosx2

(9) lim;(10) lim

x0x01cosxx11

sin4x

2.求下列极限

12x

(1) lim(1);(2) lim1axx(a为给定实数);

nx0x

x

(3) lim1tanx

x0

cotx

;(4) lim

1x

;

x01x

(5) lim(

x

3x22x1

);(6) lim(1)x(,为给定实数)

n3x1x

3.证明:limlimcosxcoxcos4.利用归结原则计算下列极限: (1) limnsin

n

x0n



x2

xxcos1 2n22

n

;(2)

习题

1. 证明下列各式

(1) 2x-x2=O(x) (x→0);(2)x sinxO(x)(x→0);

+

(3)x1o(1) (x→0);

(4) (1+x)n= 1+ nx+o (x) (x→0)(n 为正整数) (5) 2x3 + x2=O(x3)(x→∞) ;

(6) o (g(x))±o(g(x)) =o(g(x))(x→x0)

(7) o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0) 2. 应用定理3.12求下列极限:

x21x(1) lim(2)lim x01cosxxxcosx

x3. 证明定理3.13

4. 求下列函数所表示曲线的渐近线:

13x34

(1) y = ;(2) y = arctan x ;(3)y = 2

xx2x

5. 试确定a的值,使下列函数与xa当x→0时为同阶无穷小量:

(1) sin2x-2sinx ;(2)

- (1-x); 1x

(3)tanxsinx;(4)

x24x3

6. 试确定a的值,使下列函数与xa当x→∞时为同阶无穷大量:

(1)

x2x5;(2)x+x2 (2+sinx);

(3) (1+x)(1+x2)…(1+xn).

7. 证明:若S为无上界数集,则存在一递增数列{xn}s,使得xn→+∞(n→∞)

8. 证明:若f为x→r时的无穷大量,而函数g在某U0(r)上满足g(x)≥K>0,则fg为x→r

时的无穷大量。

9. 设 f(x)~g(x) (x→x0),证明:

f ( x )-g ( x ) = o ( f ( x ) )或 f ( x )-g ( x ) = o ( g ( x ) )

总 练 习 题

1. 求下列极限:

1

(x[x])lim([x]1)(1) lim;(2)

x3

x1

(3) lim(

x

axbxaxbx)

xxa

(4) lim

x

(5)lim

xxa

x

(6) lim

xxxx

x0

(7) lim

nm

,m,n 为正整数 nx11xm1x

2. 分别求出满足下述条件的常数a与b:

x21

(1) limaxb0 xx1

x(3) limx

(2) lim

xxx2

x1axb0

x1axb0

x2

3. 试分别举出符合下列要求的函数f:

(1) limf(x)f(2);(2) limf(x)不存在。

4. 试给出函数f的例子,使f(x)>0恒成立,而在某一点x0处有limf(x)0。这同极限的

xx0

局部保号性有矛盾吗?

5. 设limf(x)A,limg(u)B,在何种条件下能由此推出

xa

gA

limg(f(x))B?

xa

6. 设f (x)=x cos x。试作数列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0 (n→∞); (2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0 (n→∞); (3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0 (n→∞).

7. 证明:若数列{an}满足下列条件之一,则{an}是无穷大数列:

(1) limanr1

n

(2) lim

an1

s1(an≠0,n=1,2,…)

nan

n2

n2

8. 利用上题(1)的结论求极限:

(1) lim1

n

11(2) lim1

nnn

9. 设liman,证明

n

(1) lim

(a1a2an) nn

n

(2)若an > 0(n=1,2,…),则lima1a2an 10.利用上题结果求极限:

(1)limn!(2) lim

n

In(n!)

nn

11.设f为U-0(x0)内的递增函数。证明:若存在数列{xn}U-0(x0)且xn→x0(n→∞),使得

limf(xn)A,则有

n

f (x0-0) =

supf(x)A

0xU(x0)

12.设函数f在(0,+∞)上满足方程f(2x)=f(x),且limf(x)A。证明:f(x)A,x∈(0,+∞)

x

13.设函数f在(0,+∞)此上满足方程f (x2) = f (x),且

f(x)=limf(x)f(1)lim

x0

x

证明:f(x)f(1),x∈(0,+∞)

14.设函数f定义在(a,+∞)上,f在每一个有限区间内(a,b)有界,并满足

x

lim(f(x1)f(1))A证明

x

lim

f(x)

A x

第二篇:函数极限

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

第三章 函数极限

教学目的:

1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念,掌握函数极限的基本性质; 2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性; 3.掌握两个重要极限

,并能熟练运用;

4.理解无穷小(大)量及其阶的概念,会利用它们求某些函数的极限。 教学重(难)点:

本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算;难点是海涅定理与柯西准则的应用。

教学时数:16学时

§ 1 函数极限概念 (3学时)

教学目的:使学生建立起函数极限的准确概念;会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。

教学要求:使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。会应用函数极限的定义证明函数的有关命题,并能运用语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。

教学重点:函数极限的概念。

教学难点:函数极限的定义及其应用。

一、复习:数列极限的概念、性质等

二、讲授新课:

(一) 时函数的极限:

- 21 《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

例4 验证

例5 验证

例6 验证

证 由 =

为使

需有

需有

为使

于是, 倘限制 , 就有

例7 验证

例8 验证 ( 类似有

(三)单侧极限:

1.定义:单侧极限的定义及记法. 几何意义: 介绍半邻域

- 23 《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

我们引进了六种极限: .以下以极限

,

为例讨论性质.均给出证明或简证.

二、讲授新课:

(一)函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.

局部有界性:

3.

局部保号性:

4.

单调性( 不等式性质 ):

Th 4 若使 ,证 设

和都有 =

( 现证对 都存在, 且存在点

的空心邻域

,

註: 若在Th 4的条件中, 改“ 就有

5.6.

迫敛性:

”为“ 举例说明.

”, 未必

四则运算性质: ( 只证“+”和“ ”)

(二)利用极限性质求极限: 已证明过以下几个极限:

- 25 《数学分析》教案

第三章 函数极限

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例8

例9

例10 已知

求和

补充题:已知

求和 (

) § 3 函数极限存在的条件(4学时)

教学目的:理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。 教学要求:掌握海涅定理与柯西准则,领会其实质以及证明的基本思路。 教学重点:海涅定理及柯西准则。 教学难点:海涅定理及柯西准则 运用。

教学方法:讲授为主,辅以练习加深理解,掌握运用。 本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限

为例.

一.

Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系:

Th 1 设函数在,对任何在点

的某空心邻域

内有定义.则极限都存在且相等.( 证 )

存Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为

单调趋于

.参阅[1]P70.例1 证明函数极限的双逼原理.

- 27 《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

教学难点:两个重要极限的证明及运用。

教学方法:讲授定理的证明,举例说明应用,练习。 一.

(证) (同理有

例1

例2 .例3

例4

例5 证明极限 不存在.二.

证 对

例6

特别当 等.例7

例8

- 28

29 《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

三. 等价无穷小:

Th 2 ( 等价关系的传递性 ). 等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3 ( 等价无穷小替换法则 )

几组常用等价无穷小: (见[2])

例3 时, 无穷小

是否等价? 例4

四.无穷大量:

1.定义:

2.性质:

性质1 同号无穷大的和是无穷大.

性质2 无穷大与无穷大的积是无穷大. 性质3 与无界量的关系.

无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果.

3.无穷小与无穷大的关系:

无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大

习 题 课(2学时)

一、理论概述:

- 31 《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

例7 .求

.注意 时, 且

.先求

由Heine归并原则

即求得所求极限

.

例8 求是否存在.

和.并说明极限

解 ;

可见极限 不存在.

- - 32

高数极限证明

重要极限证明

极限证明(共8篇)

证明函数fx

凸函数证明

推荐专题: 证明函数极限的局部保号性

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