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第一篇：函数极限
习题
1.按定义证明下列极限:
(1) limx6x5=6 ;(2) lim(x2-6x+10)=2; x2x
x251 ;(4) lim(3) lim2xx1x2
(5) limcos x = cos x0 xx04x2=0;
2.根据定义2叙述limf (x) ≠ A.xx0
3.设limf (x) = A.,证明limf (x0+h) = A.xx0h0
4.证明:若limf (x) = A,则lim| f (x)| = |A|.当且仅当A为何值时反之也成立? xx0xx0
5.证明定理3.1
6.讨论下列函数在x0→0 时的极限或左、右极限: (1)f(x)=x
x;(2) f(x) = [x]
2x;x0.(3) f (x)=0;x0.
1x2,x0.
7.设 limf (x) = A,证明limf (xxx01) = A x
8.证明:对黎曼函数R(x)有limR (x) = 0 , x0∈[0,1](当x0=0或1时,考虑单侧极限).xx0
习题
1． 求下列极限：
x21 （1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim; x02x2x1x22
x21x113x;
lim(3) lim;(4)
x12x2x1x0x22x3
xn1(5) limm(n,m 为正整数)；（6）lim
x1xx41
（7）lim
x0
2x3x2
70
；
20
a2xa3x68x5.
（a>0）;(8) lim
xx5x190
2． 利用敛性求极限： (1) lim
x
xcosxxsinx
;(2) lim2
x0xx4
xx0
3． 设 limf(x)=A, limg(x)=B.证明：
xx0
（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;
xx0
（2）lim[f(x)g(x)]=AB;
xx0
（3）lim
xx0
f(x)A
=(当B≠0时) g(x)B
4． 设
a0xma1xm1am1xam
f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn1
b0xb1xbn1xbn
试求 limf(x)
x
5． 设f(x)>0, limf(x)=A.证明
xx0
xx0
lim
f(x)=A，
其中n≥2为正整数.6.证明limax=1(0n
x0
7.设limf(x)=A, limg(x)=B.
xx0
xx0
(1)若在某∪(x0)内有f(x)
（2）证明：若A>B,则在某∪(x0)内有f(x) > g(x).8.求下列极限（其中n皆为正整数）： (1) lim
x0
x
x11
lim;(2);nnx0x1xx1x
xx2xnn
(3) lim ;(4) lim
x0x0x1
x1
x
(5) lim
x
x(提示：参照例1)
x
x0
x0
x0
9．（1）证明：若limf (x3)存在，则limf (x)= lim f (x3)（2）若limf (x2)存在，试问是否成立limf (x) =limf (x2) ?
x0
x0
x0
习题
1.叙述函数极限limf(x)的归结原则,并应用它证明limcos x不存在.
n
n
2.设f 为定义在[a,+)上的增(减)函数.证明: lim= f(x)存在的充要条件是f在
n
[a,+)上有上(下)界.
3.(1)叙述极限limf (x)的柯西准则;
n
(2)根据柯西准则叙述limf (x)不存在的充要条件,并应用它证明limsin x不存在.
n
n
4.设f在∪0(x0)内有定义.证明:若对任何数列{xn}∪0(x0)且limxn=x0,极限limf(xn)都
n
n
存在,则所有这极限都相等.
提示: 参见定理3.11充分性的证明.
5设f为∪0(x0)上的递减函数.证明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0) =supf(x),f(x0+0)=
0xu
x0
0xun(x0)
inff (x)
6.设 D(x)为狄利克雷函数,x0∈R证明limD(x)不存在.
xx0
7.证明:若f为周期函数,且limf(x)=0,则f(x)=0
x
8.证明定理3.9
习题
1.求下列极限
sin2xsinx3
(1) lim;(2) lim
x0x0sinx2x
(3) lim
x
cosxx
tanxsinxarctanx
lim(5) lim;(6) ; 3x0x0xx
sin2xsin2a1
(7) limxsin ;(8) lim;
xxaxxa
;(4) lim
x0
tanx
; x
cosx2
(9) lim;(10) lim
x0x01cosxx11
sin4x
2.求下列极限
12x
(1) lim(1);(2) lim1axx(a为给定实数);
nx0x
x
(3) lim1tanx
x0
cotx
;(4) lim
1x
;
x01x
(5) lim(
x
3x22x1
);(6) lim(1)x(,为给定实数)
n3x1x
3.证明:limlimcosxcoxcos4.利用归结原则计算下列极限: (1) limnsin
n
x0n
x2
xxcos1 2n22
n
;(2)
习题
1． 证明下列各式
(1) 2x－x2=O(x) (x→0);(2)x sinxO(x)(x→0);
+
(3)x1o(1) (x→0);
(4) (1+x)n= 1+ nx+o (x) (x→0)(n 为正整数) (5) 2x3 + x2=O(x3)(x→∞) ;
(6) o (g(x))±o(g(x)) =o(g(x))(x→x0)
(7) o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0) 2． 应用定理3.12求下列极限：
x21x(1) lim(2)lim x01cosxxxcosx
x3． 证明定理3.13
4． 求下列函数所表示曲线的渐近线：
13x34
(1) y = ;(2) y = arctan x ;(3)y = 2
xx2x
5． 试确定a的值，使下列函数与xa当x→0时为同阶无穷小量：
(1) sin2x－2sinx ;(2)
－ (1－x); 1x
(3)tanxsinx;(4)
x24x3
6． 试确定a的值，使下列函数与xa当x→∞时为同阶无穷大量：
(1)
x2x5;(2)x+x2 (2+sinx);
(3) (1+x)(1+x2)…(1+xn).
7． 证明：若S为无上界数集，则存在一递增数列{xn}s，使得xn→+∞(n→∞)
8． 证明：若f为x→r时的无穷大量，而函数g在某U0(r)上满足g(x)≥K>0，则fg为x→r
时的无穷大量。
9． 设 f(x)~g(x) (x→x0)，证明：
f ( x )－g ( x ) = o ( f ( x ) )或 f ( x )－g ( x ) = o ( g ( x ) )
总 练 习 题
1． 求下列极限：
1
(x[x])lim([x]1)(1) lim;(2)
x3
x1
(3) lim(
x
axbxaxbx)
xxa
(4) lim
x
(5)lim
xxa
x
(6) lim
xxxx
x0
(7) lim
nm
,m,n 为正整数 nx11xm1x
2． 分别求出满足下述条件的常数a与b：
x21
(1) limaxb0 xx1
x(3) limx
(2) lim
xxx2
x1axb0
x1axb0
x2
3． 试分别举出符合下列要求的函数f：
(1) limf(x)f(2)；(2) limf(x)不存在。
4． 试给出函数f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一点x0处有limf(x)0。这同极限的
xx0
局部保号性有矛盾吗？
5． 设limf(x)A，limg(u)B，在何种条件下能由此推出
xa
gA
limg(f(x))B?
xa
6． 设f (x)=x cos x。试作数列
(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0 (n→∞); (2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0 (n→∞); (3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0 (n→∞).
7． 证明：若数列{an}满足下列条件之一，则{an}是无穷大数列：
(1) limanr1
n
(2) lim
an1
s1(an≠0,n=1,2,…)
nan
n2
n2
8． 利用上题（1）的结论求极限：
(1) lim1
n
11(2) lim1
nnn
9． 设liman，证明
n
(1) lim
(a1a2an) nn
n
(2)若an > 0(n=1,2,…),则lima1a2an 10.利用上题结果求极限：
(1)limn!(2) lim
n
In(n!)
nn
11.设f为U-0(x0)内的递增函数。证明：若存在数列{xn}U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得
limf(xn)A，则有
n
f (x0－0) =
supf(x)A
0xU(x0)
12.设函数f在(0,+∞)上满足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)A。证明：f(x)A，x∈(0,+∞)
x
13.设函数f在(0,+∞)此上满足方程f (x2) = f (x)，且
f(x)=limf(x)f(1)lim
x0
x
证明：f(x)f(1)，x∈(0,+∞)
14.设函数f定义在(a,+∞)上，f在每一个有限区间内(a,b)有界，并满足
x
lim(f(x1)f(1))A证明
x
lim
f(x)
A x
第二篇：函数极限
《数学分析》教案
第三章 函数极限
xbl
第三章 函数极限
教学目的：
1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质； 2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性； 3.掌握两个重要极限
和
，并能熟练运用；
4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。 教学重（难）点：
本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。
教学时数：16学时
§ 1 函数极限概念 （3学时）
教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。
教学要求：使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。会应用函数极限的定义证明函数的有关命题，并能运用语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。
教学重点：函数极限的概念。
教学难点：函数极限的定义及其应用。
一、复习：数列极限的概念、性质等
二、讲授新课：
（一） 时函数的极限：
- 21 《数学分析》教案
第三章 函数极限
xbl
例4 验证
例5 验证
例6 验证
证 由 =
为使
需有
需有
为使
于是, 倘限制 , 就有
例7 验证
例8 验证 ( 类似有
（三）单侧极限:
1．定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义: 介绍半邻域
- 23 《数学分析》教案
第三章 函数极限
xbl
我们引进了六种极限: .以下以极限
,
为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课：
（一）函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.
局部有界性:
3.
局部保号性:
4.
单调性( 不等式性质 ):
Th 4 若使 ，证 设
和都有 =
( 现证对 都存在, 且存在点
的空心邻域
,
有
註: 若在Th 4的条件中, 改“ 就有
5.6. 以
迫敛性:
”为“ 举例说明.
”, 未必
四则运算性质: ( 只证“+”和“ ”)
（二）利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：
- 25 《数学分析》教案
第三章 函数极限
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例8
例9
例10 已知
求和
补充题:已知
求和 (
) § 3 函数极限存在的条件（4学时）
教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。 教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。 教学重点：海涅定理及柯西准则。 教学难点：海涅定理及柯西准则 运用。
教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。 本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限
为例.
一.
Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：
Th 1 设函数在,对任何在点
且
的某空心邻域
内有定义.则极限都存在且相等.( 证 )
存Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为
单调趋于
.参阅[1]P70.例1 证明函数极限的双逼原理.
- 27 《数学分析》教案
第三章 函数极限
xbl
教学难点：两个重要极限的证明及运用。
教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。 一．
（证） （同理有
）
例1
例2 .例3
例4
例5 证明极限 不存在.二.
证 对
有
例6
特别当 等.例7
例8
- 28
29 《数学分析》教案
第三章 函数极限
xbl
三． 等价无穷小：
Th 2 ( 等价关系的传递性 ). 等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3 ( 等价无穷小替换法则 )
几组常用等价无穷小: （见[2]）
例3 时, 无穷小
与
是否等价? 例4
四.无穷大量:
1.定义:
2.性质:
性质1 同号无穷大的和是无穷大.
性质2 无穷大与无穷大的积是无穷大. 性质3 与无界量的关系.
无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果.
3.无穷小与无穷大的关系:
无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大
习 题 课（2学时）
一、理论概述：
- 31 《数学分析》教案
第三章 函数极限
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例7 .求
.注意 时, 且
.先求
由Heine归并原则
即求得所求极限
.
例8 求是否存在.
和.并说明极限
解 ;
可见极限 不存在.
- - 32
高数极限证明
重要极限证明
极限证明（共8篇）
证明函数fx
凸函数证明
推荐专题： 证明函数极限的局部保号性