函数极限证明

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习题

1.按定义证明下列极限:

(1) limx6x5=6 ;(2) lim(x2-6x+10)=2; x2x

x251 ;(4) lim(3) lim2xx1x2

(5) limcos x = cos x0 xx04x2=0;

2.根据定义2叙述limf (x) ≠ A.xx0

3.设limf (x) = A.,证明limf (x0+h) = A.xx0h0

4.证明:若limf (x) = A,则lim| f (x)| = |A|.当且仅当A为何值时反之也成立? xx0xx0

5.证明定理3.1

6.讨论下列函数在x0→0 时的极限或左、右极限: (1)f(x)=x

x;(2) f(x) = [x]

2x;x0.(3) f (x)=0;x0.

1x2,x0.

7.设 limf (x) = A,证明limf (xxx01) = A x

8.证明:对黎曼函数R(x)有limR (x) = 0 , x0∈[0,1](当x0=0或1时,考虑单侧极限).xx0

习题

1． 求下列极限：

x21 （1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim; x02x2x1x22

x21x113x;

lim(3) lim;(4)

x12x2x1x0x22x3

xn1(5) limm(n,m 为正整数)；（6）lim

x1xx41

（7）lim

x0

2x3x2

70

；

20

a2xa3x68x5.

（a>0）;(8) lim

xx5x190

2． 利用敛性求极限： (1) lim

x

xcosxxsinx

;(2) lim2

x0xx4

xx0

3． 设 limf(x)=A, limg(x)=B.证明：

xx0

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;

xx0

（2）lim[f(x)g(x)]=AB;

xx0

（3）lim

xx0

f(x)A

=(当B≠0时) g(x)B

4． 设

a0xma1xm1am1xam

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn1

b0xb1xbn1xbn

试求 limf(x)

x

5． 设f(x)>0, limf(x)=A.证明

xx0

xx0

lim

f(x)=A，

其中n≥2为正整数.6.证明limax=1(0n

x0

7.设limf(x)=A, limg(x)=B.

xx0

xx0

(1)若在某∪(x0)内有f(x)

（2）证明：若A>B,则在某∪(x0)内有f(x) > g(x).8.求下列极限（其中n皆为正整数）： (1) lim 

x0

x

x11

lim;(2);nnx0x1xx1x

xx2xnn

(3) lim ;(4) lim

x0x0x1

x1

x

(5) lim

x

x(提示：参照例1)

x

x0

x0

x0

9．（1）证明：若limf (x3)存在，则limf (x)= lim f (x3)（2）若limf (x2)存在，试问是否成立limf (x) =limf (x2) ?

x0

x0

x0

习题

1.叙述函数极限limf(x)的归结原则,并应用它证明limcos x不存在.

n

n

2.设f 为定义在[a,+)上的增(减)函数.证明: lim= f(x)存在的充要条件是f在

n

[a,+)上有上(下)界.

3.(1)叙述极限limf (x)的柯西准则;

n

(2)根据柯西准则叙述limf (x)不存在的充要条件,并应用它证明limsin x不存在.

n

n

4.设f在∪0(x0)内有定义.证明:若对任何数列{xn}∪0(x0)且limxn=x0,极限limf(xn)都

n

n

存在,则所有这极限都相等.

提示: 参见定理3.11充分性的证明.

5设f为∪0(x0)上的递减函数.证明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0) =supf(x),f(x0+0)=

0xu

x0

0xun(x0)

inff (x)

6.设 D(x)为狄利克雷函数,x0∈R证明limD(x)不存在.

xx0

7.证明:若f为周期函数,且limf(x)=0,则f(x)=0

x

8.证明定理3.9

习题

1.求下列极限

sin2xsinx3

(1) lim;(2) lim

x0x0sinx2x

(3) lim

x

cosxx



tanxsinxarctanx

lim(5) lim;(6) ; 3x0x0xx

sin2xsin2a1

(7) limxsin ;(8) lim;

xxaxxa

;(4) lim

x0

tanx

; x

cosx2

(9) lim;(10) lim

x0x01cosxx11

sin4x

2.求下列极限

12x

(1) lim(1);(2) lim1axx(a为给定实数);

nx0x

x

(3) lim1tanx

x0

cotx

;(4) lim

1x

;

x01x

(5) lim(

x

3x22x1

);(6) lim(1)x(,为给定实数)

n3x1x

3.证明:limlimcosxcoxcos4.利用归结原则计算下列极限: (1) limnsin

n



x0n





x2

xxcos1 2n22



n

;(2)

习题

1． 证明下列各式

(1) 2x－x2=O(x) (x→0);(2)x sinxO(x)(x→0);

+

(3)x1o(1) (x→0);

(4) (1+x)n= 1+ nx+o (x) (x→0)(n 为正整数) (5) 2x3 + x2=O(x3)(x→∞) ;

(6) o (g(x))±o(g(x)) =o(g(x))(x→x0)

(7) o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0) 2． 应用定理3.12求下列极限：

x21x(1) lim(2)lim x01cosxxxcosx

x3． 证明定理3.13

4． 求下列函数所表示曲线的渐近线：

13x34

(1) y = ;(2) y = arctan x ;(3)y = 2

xx2x

5． 试确定a的值，使下列函数与xa当x→0时为同阶无穷小量：

(1) sin2x－2sinx ;(2)

－ (1－x); 1x

(3)tanxsinx;(4)

x24x3

6． 试确定a的值，使下列函数与xa当x→∞时为同阶无穷大量：

(1)

x2x5;(2)x+x2 (2+sinx);

(3) (1+x)(1+x2)…(1+xn).

7． 证明：若S为无上界数集，则存在一递增数列{xn}s，使得xn→+∞(n→∞)

8． 证明：若f为x→r时的无穷大量，而函数g在某U0(r)上满足g(x)≥K>0，则fg为x→r

时的无穷大量。

9． 设 f(x)~g(x) (x→x0)，证明：

f ( x )－g ( x ) = o ( f ( x ) )或 f ( x )－g ( x ) = o ( g ( x ) )

总 练 习 题

1． 求下列极限：

1

(x[x])lim([x]1)(1) lim;(2)

x3

x1

(3) lim(

x

axbxaxbx)

xxa

(4) lim

x

(5)lim

xxa

x

(6) lim

xxxx

x0

(7) lim

nm

,m,n 为正整数 nx11xm1x

2． 分别求出满足下述条件的常数a与b：

x21

(1) limaxb0 xx1

x(3) limx

(2) lim

xxx2

x1axb0

x1axb0

x2

3． 试分别举出符合下列要求的函数f：

(1) limf(x)f(2)；(2) limf(x)不存在。

4． 试给出函数f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一点x0处有limf(x)0。这同极限的

xx0

局部保号性有矛盾吗？

5． 设limf(x)A，limg(u)B，在何种条件下能由此推出

xa

gA

limg(f(x))B?

xa

6． 设f (x)=x cos x。试作数列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0 (n→∞); (2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0 (n→∞); (3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0 (n→∞).

7． 证明：若数列{an}满足下列条件之一，则{an}是无穷大数列：

(1) limanr1

n

(2) lim

an1

s1(an≠0,n=1,2,…)

nan

n2

n2

8． 利用上题（1）的结论求极限：

(1) lim1

n

11(2) lim1

nnn

9． 设liman，证明

n

(1) lim

(a1a2an) nn

n

(2)若an > 0(n=1,2,…),则lima1a2an 10.利用上题结果求极限：

(1)limn!(2) lim

n

In(n!)

nn

11.设f为U-0(x0)内的递增函数。证明：若存在数列{xn}U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得

limf(xn)A，则有

n

f (x0－0) =

supf(x)A

0xU(x0)

12.设函数f在(0,+∞)上满足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)A。证明：f(x)A，x∈(0,+∞)

x

13.设函数f在(0,+∞)此上满足方程f (x2) = f (x)，且

f(x)=limf(x)f(1)lim

x0

x

证明：f(x)f(1)，x∈(0,+∞)

14.设函数f定义在(a,+∞)上，f在每一个有限区间内(a,b)有界，并满足

x

lim(f(x1)f(1))A证明

x

lim

f(x)

A x

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