函数极限证明(范文六篇)

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第一篇：函数极限的性质证明

函数极限的性质证明

X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限

求极限我会

|Xn+1-A|

以此类推，改变数列下标可得|Xn-A|

|Xn-1-A|

……

|X2-A|

向上迭代，可以得到|Xn+1-A|

2只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。

用数学归纳法：

①证明{x(n)}单调增加。

x(2)=√=√5>x(1);

设x(k+1)>x(k)，则

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②证明{x(n)}有上界。

x(1)=1

设x(k)

x(k+1)=√

3当0

当0

构造函数f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，则：t>

1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

则：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分别求导)

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，对于数列n*a^n，其极限为0

4

用数列极限的定义证明

3.根据数列极限的定义证明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n个9

5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。Lim就省略不打了。。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了

第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行

第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的)

第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0

不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0

第二篇：函数极限证明

函数极限证明

记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;

下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。

不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,M>1;

那么存在N1,当x>N1,有a/MN2时，0Ni时，0

那么当x>N,有

(a/M)^n

第三篇：考研数学复习二重极限的几种求法

第21卷　第2期雁北师范学院学报Vol.21.No.2

2005年4月JOURALOFYANBEINORMALUNIVERSITYApr.2005

文章编号:1009-1939(2005)02-0065-03

二重极限的几种求法

张雅平

(大同职业技术学院数理系,山西大同　037008)

摘　要:本文着重对二重极限的求法以及二重极限不存在的证明方法进行了讨论.关键词:多元函数　二重极限　累次极限.中图分类号:O172.1　　文献标识码:A

二重极限在多元函数微积分学中有着重要作用,探讨它的求法是进一步学习多元函数微积分有关概念和方法的基础.本文从如何求二重极限和如何证明二重极限不存在两个方面来做讨论.

极限.

2lim

x→0

→2

32e

x

y

lim

x→0

y→2

1　求二重极限的方法

1.132e+e

x

y

limsin(x3+y2)

=

x→0

lim

x→0y→2

e+e

xy

=

,极限,例1　设f(x,y)=(x2+y2)sin1/(x2+y2),

(x2+y2≠0),求limf(x,y)

x→0

y→0

32e+e

2

=

+e2

1.3　用简化运算的方法

先对二元函数进行化简,然后再运算.对于二元函数里有根式的,常常先进行分子或分母有理化,再

去求极限.

2

解:limlimf(x,y)=0;

x→0y→0

事实上对任意(x,y)≠(0,0),

|f(x,y)-0|=|x+y|Φ|x|

2

2

2

(x+y)sin+|y|

2

2

x+y

2

2

Φ

例3　求lim

x→0

y→0

xy

解:lim

x→0y→0

ε>0,取δ=Π

(x2+y2)sin

/,当|x|

(x,y)≠(0,0)时,就有

x+y

2

2

=

xy=

xy(xy+1+1)

xy(

xy+1+1)

=

lim

x→0y→0

即

limf(x,y)=0

x→0

y→0

lim

x→0

y→0

2

1.4　用取对数的方法

1.2　利用性质运算的方法

利用二重极限的四则运算和复合运算性质来求

收稿日期:2004-12-12

如果极限是1∞,00等未定型,往往通过取对数的办法来求得结果.

作者简介:张雅平(1967-),男,河北高阳人,学士,大同职业技术学院数理系讲师.研究方向:高等数学教学与研究.

雁　北　师　

范　学　院　学　报　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2005年66

例4　求lim+(1+xy)sinxy

x→0y→0

+

解:

x→0

222

0ΦΦ=

|x|+|y||x|+|y||x|+|y|,

lim+(1+xy)

y→0

+

sinxy

而

=

lim(|x|+|y|)=0

x→0y→0

x→0

lim+exp

y→0

+

ln(1+xy)=sinxy

ln(1+xy)sinxy

xy

所以

22

lim=0x→0|x|+|y|

y→0

x→0

lim+exp

y→0

+

因为

x→0

2　证明二重极限不存在

+

lim+

y→0

=1,limln(1+xy)

+sinxyx→0

y→0

+

xy

=lne=1,

若二元函数f(p)在区域D有定义,p0(x0,

y0)是D的聚点.当动点p(x,y)沿着两条不同的

所以

x→0

曲线(或点列)无限趋近于点p0(x0,y0),二元函数

lim+(1+xy)sinxy=e.

y→0

+

f(p),有不同的“极限”,f(p)在点p0(x0,y0)不存在极限.1.5　用变量代换的方法

f(pp.

)沿着D续曲线趋近于点

00,f(p)的极限不存在,则

(x,y)→(x,y)

00

利用变量代换把二重极限化为一元函数的极限或化为易于求解的二重极限,从而求得结果.

定理1　若二元函数f(p)在区域D,

p0(x0,y0)是D的聚点.

x→x

0y→y

f(x,y)不存在.

limf(x,y)=例7　证明lim

x→0y→0

yx+y

2

2

不存在.

yy0+rsinθ)ΖΠε>0,ϖδ设(x=x0+rcos

>0,Πr:0

θ,y0+rsinθ)-A|

x→0

y→0

证明:函数的定义域为D={(x,y)|x>-ey,

x+y

2

2

≠0},当点p(x,y)沿着y轴趋于点(0,0)yx+y

2

2

时,有x=0,而

lim

x=0

y→0

=lim

y→0

|y|

θ,y=rsinθ.有解:设x=rcos

lim(x+y)ln(x+y)=

x→0

y→0r→0

不存在,所以

lim

x→0

y→0

22

yx2+y2

θ)lnrlimr(sinθ+cos

2

Πθ:0ΦθΦ2π,有

θ)lnr2|Φ|4rlnr|.|r(sinθ+cos

由一元函数极限知道lim+4rlnr=0.于是由定

r→0

不存在.

2)当P沿着D中两条不同的连续曲线趋近于

点p0(x0,y0)时,二元函数f(p)的极限都存在,但不相等,则

(x,y)→(x,y)

00

理1得出

lim(x+y)ln(x2+y2)=0

x→0y→0

limf(x,y)不存在.

4

4

1.6　用多元函数收敛判别法的方法

例8　证明lim不存在

x→0x+y

y→0

通过放缩法使二元函数夹在两个已知极限的函数之间,再利用两边夹定理来推出结果.

22

例6　求lim

x→0|x|+|y|

y→0

证明:函数的定义域为D={(x,y)|x+y≠0},当点p(x,y)沿着x轴趋于点(0,0)时,

limx→0x+y

y=0

44

=0,

解:因为

当点p(x,y)沿着y=x(x3-1)趋于点(0,0)时,

第2期　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　张雅平:二重极限的几种求法　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　67

x→0

3

y=x(x-1)

lim

444434

=lim=24x→0x+yx

32

例10　证明lim22不存在x→0x+2yy→0

所以

limx→0x+y

y→0

证明:

4

4

limlimf(x,y)=limlim2=x→0y→0x→0y→0x+2y2lim2=limx=0;x→0xx→0

3

32

不存在.

3)对于一些难以找到的路线,可以利用极坐标来证明.

例9　证明lim33不存在x→0x+yy→0

2

2

limlimf(x,y)=limlim

y→0x→0

y→0x→0

22=x+2y

32

2lim2=lim=.y→02yy→022

证明:设x=rcosθ,y=rsinθ,函数的定义域为

)|r>0,cos3θ+sin3θ≠0,θ∈[0,D={(r,θ

即得

limlim2≠limlim2.2x→0y→0xy→0x→0x+2y+2y2

3

3

3

2

2π]}.

lim

x→0

y→0

因为两个累次极限不相等,所以

32

lim2x→0x+2y2y→0

3=

x+y

3

22

(r,θ)∈D

θ2θlim+

cos3θ+sin3θx→0

2

当θ=0时,sinθ=0,得

lim+=033x→0cosθ+sinθ

θ=0

22

不存在

,,,但也有对于一元函数而言,自变量的变,而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某点的方式,这是二者最大的差别.把握住这一点,再在具体的题上具体分析,就能找到解决问题的方法.

当θ→(

-)时,4

cos3θ+sin3θ→0+,22,

=≠033

4cos+sinθ

2

2

令cos3θ+sin3有

x→0

lim+

3

cosθ+sinθ=r

3

所以

lim33x→0x+yy→0

2

2

参考文献

[1]同济大学数学教研室.高等数学[M].第4版.北京:高等

教育出版社,1996.

[2]刘玉琏傅沛仁.数学分析讲义[M].第3版.北京:高等教

不存在

4)若两个累次极限都存在,但不相等,则二重

育出版社,1992.

[3]孙涛.数学分析经典习题解析[M].北京:高等教育出版

极限一定不存在.

社,2004.

SeveralMethodsforEvaluatingtheDoubleLimits

ZHANGYa2ping

(DepartmentofMathematicsandphysics,DatongVocational

College,Datong,Shanxi,037008)

Abstract:Severalmethodsofevaluatingthedoublelimitsandthemethodusedtodemonstratethatthereisn’tdoublelimitarediscussedinthispaperonthebasisofteachingexperienceoftheauthor.

Keywords:functionofseveralvariables,doublelimit,progressivelimit

第四篇：极限不存在用反证法

若存在实数L，使limsin(1/x)=L，

取ε=1/2，

在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，

①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin[1/x1(n)]=1，

②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin[1/x2(n)]=-1，

使|sin[1/x1(n)]-L|<1/3，

和|sin[1/x2(n)]-L|<1/3，

同时成立。

即|1-L|<1/2，|-1-L|<1/2，同时成立。

这与|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。

所以，使limsin(1/x)=L 成立的实数L不存在。

第五篇：函数极限

习题

1.按定义证明下列极限:

(1) limx6x5=6 ;(2) lim(x2-6x+10)=2; x2x

x251 ;(4) lim(3) lim2xx1x2

(5) limcos x = cos x0 xx04x2=0;

2.根据定义2叙述limf (x) ≠ A.xx0

3.设limf (x) = A.,证明limf (x0+h) = A.xx0h0

4.证明:若limf (x) = A,则lim| f (x)| = |A|.当且仅当A为何值时反之也成立? xx0xx0

5.证明定理3.1

6.讨论下列函数在x0→0 时的极限或左、右极限: (1)f(x)=x

x;(2) f(x) = [x]

2x;x0.(3) f (x)=0;x0.

1x2,x0.

7.设 limf (x) = A,证明limf (xxx01) = A x

8.证明:对黎曼函数R(x)有limR (x) = 0 , x0∈[0,1](当x0=0或1时,考虑单侧极限).xx0

习题

1． 求下列极限：

x21 （1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim; x02x2x1x22

x21x113x;

lim(3) lim;(4)

x12x2x1x0x22x3

xn1(5) limm(n,m 为正整数)；（6）lim

x1xx41

（7）lim

x0

2x3x2

70

；

20

a2xa3x68x5.

（a>0）;(8) lim

xx5x190

2． 利用敛性求极限： (1) lim

x

xcosxxsinx

;(2) lim2

x0xx4

xx0

3． 设 limf(x)=A, limg(x)=B.证明：

xx0

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;

xx0

（2）lim[f(x)g(x)]=AB;

xx0

（3）lim

xx0

f(x)A

=(当B≠0时) g(x)B

4． 设

a0xma1xm1am1xam

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn1

b0xb1xbn1xbn

试求 limf(x)

x

5． 设f(x)>0, limf(x)=A.证明

xx0

xx0

lim

f(x)=A，

其中n≥2为正整数.6.证明limax=1(0n

x0

7.设limf(x)=A, limg(x)=B.

xx0

xx0

(1)若在某∪(x0)内有f(x)

（2）证明：若A>B,则在某∪(x0)内有f(x) > g(x).8.求下列极限（其中n皆为正整数）： (1) lim 

x0

x

x11

lim;(2);nnx0x1xx1x

xx2xnn

(3) lim ;(4) lim

x0x0x1

x1

x

(5) lim

x

x(提示：参照例1)

x

x0

x0

x0

9．（1）证明：若limf (x3)存在，则limf (x)= lim f (x3)（2）若limf (x2)存在，试问是否成立limf (x) =limf (x2) ?

x0

x0

x0

习题

1.叙述函数极限limf(x)的归结原则,并应用它证明limcos x不存在.

n

n

2.设f 为定义在[a,+)上的增(减)函数.证明: lim= f(x)存在的充要条件是f在

n

[a,+)上有上(下)界.

3.(1)叙述极限limf (x)的柯西准则;

n

(2)根据柯西准则叙述limf (x)不存在的充要条件,并应用它证明limsin x不存在.

n

n

4.设f在∪0(x0)内有定义.证明:若对任何数列{xn}∪0(x0)且limxn=x0,极限limf(xn)都

n

n

存在,则所有这极限都相等.

提示: 参见定理3.11充分性的证明.

5设f为∪0(x0)上的递减函数.证明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0) =supf(x),f(x0+0)=

0xu

x0

0xun(x0)

inff (x)

6.设 D(x)为狄利克雷函数,x0∈R证明limD(x)不存在.

xx0

7.证明:若f为周期函数,且limf(x)=0,则f(x)=0

x

8.证明定理3.9

习题

1.求下列极限

sin2xsinx3

(1) lim;(2) lim

x0x0sinx2x

(3) lim

x

cosxx



tanxsinxarctanx

lim(5) lim;(6) ; 3x0x0xx

sin2xsin2a1

(7) limxsin ;(8) lim;

xxaxxa

;(4) lim

x0

tanx

; x

cosx2

(9) lim;(10) lim

x0x01cosxx11

sin4x

2.求下列极限

12x

(1) lim(1);(2) lim1axx(a为给定实数);

nx0x

x

(3) lim1tanx

x0

cotx

;(4) lim

1x

;

x01x

(5) lim(

x

3x22x1

);(6) lim(1)x(,为给定实数)

n3x1x

3.证明:limlimcosxcoxcos4.利用归结原则计算下列极限: (1) limnsin

n



x0n





x2

xxcos1 2n22



n

;(2)

习题

1． 证明下列各式

(1) 2x－x2=O(x) (x→0);(2)x sinxO(x)(x→0);

+

(3)x1o(1) (x→0);

(4) (1+x)n= 1+ nx+o (x) (x→0)(n 为正整数) (5) 2x3 + x2=O(x3)(x→∞) ;

(6) o (g(x))±o(g(x)) =o(g(x))(x→x0)

(7) o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0) 2． 应用定理3.12求下列极限：

x21x(1) lim(2)lim x01cosxxxcosx

x3． 证明定理3.13

4． 求下列函数所表示曲线的渐近线：

13x34

(1) y = ;(2) y = arctan x ;(3)y = 2

xx2x

5． 试确定a的值，使下列函数与xa当x→0时为同阶无穷小量：

(1) sin2x－2sinx ;(2)

－ (1－x); 1x

(3)tanxsinx;(4)

x24x3

6． 试确定a的值，使下列函数与xa当x→∞时为同阶无穷大量：

(1)

x2x5;(2)x+x2 (2+sinx);

(3) (1+x)(1+x2)…(1+xn).

7． 证明：若S为无上界数集，则存在一递增数列{xn}s，使得xn→+∞(n→∞)

8． 证明：若f为x→r时的无穷大量，而函数g在某U0(r)上满足g(x)≥K>0，则fg为x→r

时的无穷大量。

9． 设 f(x)~g(x) (x→x0)，证明：

f ( x )－g ( x ) = o ( f ( x ) )或 f ( x )－g ( x ) = o ( g ( x ) )

总 练 习 题

1． 求下列极限：

1

(x[x])lim([x]1)(1) lim;(2)

x3

x1

(3) lim(

x

axbxaxbx)

xxa

(4) lim

x

(5)lim

xxa

x

(6) lim

xxxx

x0

(7) lim

nm

,m,n 为正整数 nx11xm1x

2． 分别求出满足下述条件的常数a与b：

x21

(1) limaxb0 xx1

x(3) limx

(2) lim

xxx2

x1axb0

x1axb0

x2

3． 试分别举出符合下列要求的函数f：

(1) limf(x)f(2)；(2) limf(x)不存在。

4． 试给出函数f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一点x0处有limf(x)0。这同极限的

xx0

局部保号性有矛盾吗？

5． 设limf(x)A，limg(u)B，在何种条件下能由此推出

xa

gA

limg(f(x))B?

xa

6． 设f (x)=x cos x。试作数列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0 (n→∞); (2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0 (n→∞); (3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0 (n→∞).

7． 证明：若数列{an}满足下列条件之一，则{an}是无穷大数列：

(1) limanr1

n

(2) lim

an1

s1(an≠0,n=1,2,…)

nan

n2

n2

8． 利用上题（1）的结论求极限：

(1) lim1

n

11(2) lim1

nnn

9． 设liman，证明

n

(1) lim

(a1a2an) nn

n

(2)若an > 0(n=1,2,…),则lima1a2an 10.利用上题结果求极限：

(1)limn!(2) lim

n

In(n!)

nn

11.设f为U-0(x0)内的递增函数。证明：若存在数列{xn}U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得

limf(xn)A，则有

n

f (x0－0) =

supf(x)A

0xU(x0)

12.设函数f在(0,+∞)上满足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)A。证明：f(x)A，x∈(0,+∞)

x

13.设函数f在(0,+∞)此上满足方程f (x2) = f (x)，且

f(x)=limf(x)f(1)lim

x0

x

证明：f(x)f(1)，x∈(0,+∞)

14.设函数f定义在(a,+∞)上，f在每一个有限区间内(a,b)有界，并满足

x

lim(f(x1)f(1))A证明

x

lim

f(x)

A x

第六篇：函数极限的定义证明

习题13

1.根据函数极限的定义证明:

(1)lim(3x1)8;x3

(2)lim(5x2)12;x2

x244;(3)limx2x2

14x3

(4)lim2.

x2x12

1证明 (1)分析 |(3x1)8||3x9|3|x3|, 要使|(3x1)8| , 只须|x3|.3

1证明 因为 0, , 当0|x3|时, 有|(3x1)8| , 所以lim(3x1)8.x33

1(2)分析 |(5x2)12||5x10|5|x2|, 要使|(5x2)12| , 只须|x2|.5

1证明 因为 0, , 当0|x2|时, 有|(5x2)12| , 所以lim(5x2)12.x25

(3)分析

|x(2)|.x24x24x4x24(4)|x2||x(2)|, 要使(4), 只须x2x2x2

x24x24(4), 所以lim4.证明 因为 0, , 当0|x(2)|时, 有x2x2x2

(4)分析 14x31114x312, 只须|x()|.2|12x2|2|x()|, 要使2x12x1222

14x31114x3

2, 所以lim证明 因为 0, , 当0|x()|时, 有2.12x12x122x2.根据函数极限的定义证明:

(1)lim1x3

2x3

sinxx1;2(2)limxx0.

证明 (1)分析

|x|1

1x32x311x3x322x312|x|3, 要使1x32x311, 只须, 即322|x|2.

证明 因为 0, X(2)分析

sinxx0

12

, 当|x|X时, 有1x

1x32x311x31, 所以lim.

x2x322

1x

, 即x

sinxx

|sinx|x

, 要使

sinx

证明 因为0, X

2

, 当xX时, 有

xsinxx

0, 只须



.

0, 所以lim

x

0.

3.当x2时,yx24.问等于多少, 使当|x2|n

解 由于x2, |x2|0, 不妨设|x2|1, 即1x3.要使|x24||x2||x2|5|x2|0.001, 只要

|x2|

0.001

0.0002, 取0.0002, 则当0|x2|时, 就有|x24|0.001.5

x21x

34.当x时, y

x21x23

1, 问X等于多少, 使当|x|>X时, |y1|n

解 要使1

4x23

0.01, 只|x|

3397, X.0.01

5.证明函数f(x)|x| 当x0时极限为零.

x|x|

6.求f(x), (x)当x0时的左﹑右极限, 并说明它们在x0时的极限是否存在.

xx

证明 因为

x

limf(x)limlim11,

x0x0xx0x

limf(x)limlim11,

x0x0xx0limf(x)limf(x),

x0

x0

所以极限limf(x)存在.

x0

因为

lim(x)lim

x0

x0

|x|x

lim1,x0xx|x|xlim1,xx0x

lim(x)lim

x0

x0

lim(x)lim(x),

x0

x0

所以极限lim(x)不存在.

x0

7.证明: 若x及x时, 函数f(x)的极限都存在且都等于A, 则limf(x)A.

x

证明 因为limf(x)A, limf(x)A, 所以>0,

x

x

X10, 使当xX1时, 有|f(x)A| ;X20, 使当xX2时, 有|f(x)A| .

取Xmax{X1, X2}, 则当|x|X时, 有|f(x)A| , 即limf(x)A.

x

8.根据极限的定义证明: 函数f(x)当xx0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.

证明 先证明必要性.设f(x)A(xx0), 则>0, 0, 使当0n

|f(x)A|n

因此当x0n

|f(x)A|n

这说明f(x)当xx0时左右极限都存在并且都等于A .再证明充分性.设f(x00)f(x00)A, 则>0,1>0, 使当x010, 使当x0n

取min{1, 2}, 则当0n

| f(x)A|n

即f(x)A(xx0).

9.试给出x时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.

解 x时函数极限的局部有界性的定理 如果f(x)当x时的极限存在 则存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M

证明 设f(x)A(x) 则对于 1 X0 当|x|X时 有|f(x)A| 1 所以|f(x)||f(x)AA||f(x)A||A|1|A|

这就是说存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M 其中M1|A|

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