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第一篇：函数极限的性质证明
函数极限的性质证明
X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限
求极限我会
|Xn+1-A|
以此类推，改变数列下标可得|Xn-A|
|Xn-1-A|
……
|X2-A|
向上迭代，可以得到|Xn+1-A|
2只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。
用数学归纳法：
①证明{x(n)}单调增加。
x(2)=√=√5>x(1);
设x(k+1)>x(k)，则
x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)
=/【√+√】>0。
②证明{x(n)}有上界。
x(1)=1
设x(k)
x(k+1)=√
3当0
当0
构造函数f(x)=x*a^x(0
令t=1/a，则：t>
1、a=1/t
且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)
则：
lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x
=lim(x→+∞)(分子分母分别求导)
=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)
=1/(+∞)
=0
所以，对于数列n*a^n，其极限为0
4
用数列极限的定义证明
3.根据数列极限的定义证明：
(1)lim=0
n→∞
(2)lim=3/2
n→∞
(3)lim=0
n→∞
(4)lim0.999…9=1
n→∞n个9
5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。Lim就省略不打了。。。
n/(n^2+1)=0
√(n^2+4)/n=1
sin(1/n)=0
实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了
第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行
第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的)
第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0
不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0
lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1
limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0
第二篇：函数极限
《数学分析》教案
第三章 函数极限
xbl
第三章 函数极限
教学目的：
1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质； 2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性； 3.掌握两个重要极限
和
，并能熟练运用；
4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。 教学重（难）点：
本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。
教学时数：16学时
§ 1 函数极限概念 （3学时）
教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。
教学要求：使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。会应用函数极限的定义证明函数的有关命题，并能运用语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。
教学重点：函数极限的概念。
教学难点：函数极限的定义及其应用。
一、复习：数列极限的概念、性质等
二、讲授新课：
（一） 时函数的极限：
- 21 《数学分析》教案
第三章 函数极限
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例4 验证
例5 验证
例6 验证
证 由 =
为使
需有
需有
为使
于是, 倘限制 , 就有
例7 验证
例8 验证 ( 类似有
（三）单侧极限:
1．定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义: 介绍半邻域
- 23 《数学分析》教案
第三章 函数极限
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我们引进了六种极限: .以下以极限
,
为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课：
（一）函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.
局部有界性:
3.
局部保号性:
4.
单调性( 不等式性质 ):
Th 4 若使 ，证 设
和都有 =
( 现证对 都存在, 且存在点
的空心邻域
,
有
註: 若在Th 4的条件中, 改“ 就有
5.6. 以
迫敛性:
”为“ 举例说明.
”, 未必
四则运算性质: ( 只证“+”和“ ”)
（二）利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：
- 25 《数学分析》教案
第三章 函数极限
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例8
例9
例10 已知
求和
补充题:已知
求和 (
) § 3 函数极限存在的条件（4学时）
教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。 教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。 教学重点：海涅定理及柯西准则。 教学难点：海涅定理及柯西准则 运用。
教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。 本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限
为例.
一.
Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：
Th 1 设函数在,对任何在点
且
的某空心邻域
内有定义.则极限都存在且相等.( 证 )
存Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为
单调趋于
.参阅[1]P70.例1 证明函数极限的双逼原理.
- 27 《数学分析》教案
第三章 函数极限
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教学难点：两个重要极限的证明及运用。
教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。 一．
（证） （同理有
）
例1
例2 .例3
例4
例5 证明极限 不存在.二.
证 对
有
例6
特别当 等.例7
例8
- 28
29 《数学分析》教案
第三章 函数极限
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三． 等价无穷小：
Th 2 ( 等价关系的传递性 ). 等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3 ( 等价无穷小替换法则 )
几组常用等价无穷小: （见[2]）
例3 时, 无穷小
与
是否等价? 例4
四.无穷大量:
1.定义:
2.性质:
性质1 同号无穷大的和是无穷大.
性质2 无穷大与无穷大的积是无穷大. 性质3 与无界量的关系.
无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果.
3.无穷小与无穷大的关系:
无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大
习 题 课（2学时）
一、理论概述：
- 31 《数学分析》教案
第三章 函数极限
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例7 .求
.注意 时, 且
.先求
由Heine归并原则
即求得所求极限
.
例8 求是否存在.
和.并说明极限
解 ;
可见极限 不存在.
- - 32
高数极限证明
重要极限证明
极限证明（共8篇）
证明函数fx
凸函数证明
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