极限的四则运算函数的连续性

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第一部分高等数学

第一节函数的极限和函数的连续性

考点梳理

一、函数及其性质

1、 初等函数

幂函数：yxa(aR)

指数函数yax(a1且a1)

对数函数：ylogax(a0且a1)

三角函数：sin x , cos x , tan x , cot x

反三角函数：arcsin x , arcos x , arctan x , arccot x

2、 性质（定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、有界性）

【注】奇偶性、单调性相对考察的可能性打，但一般不会单独出题，常与其他知识点结合起来考察（比如与积分、导数结合）

二、函数极限

1． 数列极限

定义（略）

收敛性质：极限的唯一性、极限的有界性、极限的保号性。

·类比数列极限，函数极限有唯一性、局部有界性、局部保号性。

单侧极限（左极限、右极限）

【注】函数极限为每年的必考内容，常见于客观题中。一般为2~3题。

2． 两个重要极限

（1）limsinx1 x0x

x类似得到：x→0时，x～ln(x+1)～arcsin x～arctan x～tan x （2）lim(1x)e x0

类似得到：lim(1)elim(1)xx1xx

1xx1 e

·此处，需提及无穷大，无穷小的概念，希望读者进行自学。

三、函数的连续性

1． 概念：函数f(x)在x0处的连续（f(x)在x0点左连续、f(x)在x0点右连续）函数f(x)在开区间（a,b）上的连续

函数f(x)在闭区间[a,b]上的连续

2． 函数的间断点分类

● 跳跃式间断点：函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等。

● 函数在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于该点的函数值（或函数值在该

点无定义）

● 振荡间断点：f(x)在点x0的左右极限至少有一个不存在。

3． 连续函数的和、积、商，初等函数的连续性

● 有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数。

● 有限个再某点连续的函数的积是一个在该点连续的函数。

● 两个在某点连续的函数的商事一个在该点连续的函数（分母在该点不为零） ● 一切基本初等函数在定义域（或定义区间）上是连续的。

4． 闭区间上的连续函数的性质

● （最大、最小定理）在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。

● （有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。

● （零点定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)·f(b)

那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点。

● 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点处取不同的函

数值f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)

内至少有一点ξ，使得f(b)=C(a

【注】函数的连续性，一般在客观题目中出现，分值不大，一般1~2题。

典型例题分析

【例1】（2010年真题）（工程类）计算极限limxsinx x0xsinx

A.1B.-1C.0D.

2sinx1这一重要极限。如此，我们不难解x0x

sinxsinx11limxsinxx00。 出该极限为0.即limlimx0xsinxx011limx0xx

xcx)e6,则常数c=_________。 【例2】（2010年真题）（工程类）设lim(xxc

1x1【解析】解决此类题目，我们要灵活运用lim(1)。 xxe【解析】：解决此类题目，我们要深刻掌握lim

2cxxcx2cx

2ccxclim()lim(1)limexxcxxxc2c1ce2ce6。则c= -3。

1xsin,x0【例3】（2009年真题）（工程类）设f(x)若f(x)在点x=0处连续，则αx0,x0

的取值范围是

A．(-∞,+ ∞)B.[0,+ ∞]C. (0,+ ∞)D.(1,+ ∞)

【解析】函数f(x)为一个分段函数，要使其在点x=0处连续，只需limxsinx010，不难x

发现x→0时，sin x 为有界的，我们只需满足limx0即可。易得，α>0。但α不能等于x0

0，否则limsinx010。 x

提高训练

1、 求下列函数的定义域

（

1）y

（2）y1 2x2x

（3）y=lg (3x+1)

(4) y1 1x

22、 判断一下函数的奇偶性

axax

(1) y = tan x(2) ya(3) y 2x

3、 求下列函数的极限

1x34x2(1) lim(3x1)(2) lim3(3) limxsinx3x0x0xxx

sin3x15sin2x(4) lim(5) lim(6) lim(1) x0xx01cosxxx

1ex,x0

4、

讨论f(x)0,x0在x=0点的连续性。

x0

5、 证明方程x3x1至少有一个根介于1和2之间。

【答案】

1、（1）[-1,1](2)(- ∞,0)∪(0,2) ∪(2,+∞)(3)(-1/3,+∞)

(4)[-2,-1)∪(-1,1) ∪(1,+∞)

2、（1）奇（2）非奇非偶（3）偶

3、（1）8（2）4（3）0（4）2（5）3（6）

14、连续

5、证明：记f(x)x3x1，f(1)=-30。由零点存在定理知，至少存在一个零点介于1和2之间。即方程x3x1在1和2之间至少有一个根。 555

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