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第一篇：极限的四则运算函数的连续性
极限的四则运算函数的连续性
极限的四则运算，函数的连续性
二. 教学重、难点： 1. 函数在一点处连续
2. 函数在开区间，闭区间上连续 3. 连续函数的性质
（1）若与在处连续，则，，（）在处也连续。
（2）最大、最小值，若是[]上的连续函数，那么在上有最大值和最小值，最值可在端点处取得，也可以在内取得。
【典型例题】 [例1] 求下列极限 （1） （2） （3） （4） 解： （1）原式 （2）原式
（3）原式
（4）原式
[例2] 求下列各数列的极限 （1） （2） （3） 解： （1）原式 （2）原式 （3）原式
[例3] 已知数列是正数构成的数列，，且满足，其中是大于1的整数，是正数。
（1）求的通项公式及前项和； （2）求的值。 解：
（1）由已知得
∴ 是公比为的等比数列，则
（2） ① 当时，原式 ② 当时，原式 ③ 当时，原式
[例4] 判定下列函数在给定点处是否连续。 （1）在处； （2），在处。 解： （1），但
故函数在处不连续 （2）函数在处有定义，但 ，即
故不存在，所以函数在点处不连续。
[例5] 已知函数，试求： （1）的定义域，并画出的图象； （2）求，，；
（3）在哪些点处不连续。 解：
（1）当，即时， 当时，不存在 当时， 当时，即或时， ∴
∴ 定义域为（）（），图象如图所示
（2）
∴ 不存在
（3）在及处不连续
∵ 在处无意义 时，
即不存在
∴ 在及处不连续
[例6] 证明方程至少有一个小于1的正根。 证明：令，则在（0，1）上连续，且当时，。 时，
∴ 在（0，1）内至少有一个，使
即：至少有一个，满足且，所以方程至少有一个小于1的正根。
[例7] 函数在区间（0，2）上是否连续？在区间[0，2]上呢？ 解：（且） 任取，则
∴ 在（0，2）内连续，但在处无定义 ∴ 在处不连续，从而在[0，2]上不连续
[例8] 假设，在上不连续，求的取值范围。
解：若函数，在上连续，由函数在点处连续的定义， 必有，因为，
，所以，所以，若不连续，则且。
[例9] 设
（1）若在处的极限存在，求的值； （2）若在处连续，求的值。 解：
（1），，因为在处极限存在，所以，所以，即 （2）因为在处连续，所以在处的极限存在，且 ，由（1）知，且，又，所以。
【模拟试题】 一. 选择题：
1. 已知，则下列结论正确的是（
）
A.
B. 不存在
C. =1
D. = 2. 的值为（
）
A. 5
B. 4
C. 7
D. 0 3. 的值为（
）
A. 1
B. 0
C.
D. 4. 的值为（
）
A.
B.
C. 1
D. 5. 若，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
6. 若在上处处连续，则常数等于（
）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 7. 在点处连续是在点处连续的（
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
8. 的不连续点是（
）
A. 无不连续点
B.
C.
D.
二. 解答题： 1. 求下列极限：
（1）
（2）
（3） 2. 为常数，1，求。
3. 已知
（1）在处是否连续？说明理由； （2）讨论在和上的连续性。
【试题答案】 一. 1. B
2. C
3. C D
二. 1. 解： （1） （2）
① 当时，
∴
② 当时，
∴
③ 当时， （3） 2. 解：∵
∴
∴ ，
4. B
5. C
6. C
7. A
8.
3. 解：
（1）∵ ，则
∴
∵ ，且
∴
∵
∴ 不存在
∴ 在处不连续 （2）∵
∴ 在上是不连续函数 ∵
∴ 在上是连续函数。
第二篇：5柯西收敛准则
数列{Xn}收敛的充分必要条件是对于任意给定的正数ε存在着这样的正整数N使得当m>N,n>N时就有|Xn-Xm|<ε这个准则的几何意义表示，数列{Xn}收敛的充分必要条件是：该数列中足够靠后的任意两项都无限接近。
例1
证明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [(-1)^(n+1)]/n 有极限
证：
对于任意的m,n属于正整数，m>n
|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
当m-n为奇数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m
=(1/n-1/m)→0
由柯西收敛原理得{xn}收敛
当m-n为偶数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m
=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0
由柯西收敛原理得{xn}收敛
综上{xn}收敛，即{xn}存在极限
第三篇：函数极限的性质证明
函数极限的性质证明
X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限
求极限我会
|Xn+1-A|
以此类推，改变数列下标可得|Xn-A|
|Xn-1-A|
……
|X2-A|
向上迭代，可以得到|Xn+1-A|
2只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。
用数学归纳法：
①证明{x(n)}单调增加。
x(2)=√=√5>x(1);
设x(k+1)>x(k)，则
x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)
=/【√+√】>0。
②证明{x(n)}有上界。
x(1)=1
设x(k)
x(k+1)=√
3当0
当0
构造函数f(x)=x*a^x(0
令t=1/a，则：t>
1、a=1/t
且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)
则：
lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x
=lim(x→+∞)(分子分母分别求导)
=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)
=1/(+∞)
=0
所以，对于数列n*a^n，其极限为0
4
用数列极限的定义证明
3.根据数列极限的定义证明：
(1)lim=0
n→∞
(2)lim=3/2
n→∞
(3)lim=0
n→∞
(4)lim0.999…9=1
n→∞n个9
5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。Lim就省略不打了。。。
n/(n^2+1)=0
√(n^2+4)/n=1
sin(1/n)=0
实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了
第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行
第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的)
第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0
不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0
lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1
limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0
推荐专题： 函数极限运算法则证明