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第一篇：函数极限
《数学分析》教案
第三章 函数极限
xbl
第三章 函数极限
教学目的：
1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质； 2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性； 3.掌握两个重要极限
和
，并能熟练运用；
4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。 教学重（难）点：
本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。
教学时数：16学时
§ 1 函数极限概念 （3学时）
教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。
教学要求：使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。会应用函数极限的定义证明函数的有关命题，并能运用语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。
教学重点：函数极限的概念。
教学难点：函数极限的定义及其应用。
一、复习：数列极限的概念、性质等
二、讲授新课：
（一） 时函数的极限：
- 21 《数学分析》教案
第三章 函数极限
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例4 验证
例5 验证
例6 验证
证 由 =
为使
需有
需有
为使
于是, 倘限制 , 就有
例7 验证
例8 验证 ( 类似有
（三）单侧极限:
1．定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义: 介绍半邻域
- 23 《数学分析》教案
第三章 函数极限
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我们引进了六种极限: .以下以极限
,
为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课：
（一）函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.
局部有界性:
3.
局部保号性:
4.
单调性( 不等式性质 ):
Th 4 若使 ，证 设
和都有 =
( 现证对 都存在, 且存在点
的空心邻域
,
有
註: 若在Th 4的条件中, 改“ 就有
5.6. 以
迫敛性:
”为“ 举例说明.
”, 未必
四则运算性质: ( 只证“+”和“ ”)
（二）利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：
- 25 《数学分析》教案
第三章 函数极限
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例8
例9
例10 已知
求和
补充题:已知
求和 (
) § 3 函数极限存在的条件（4学时）
教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。 教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。 教学重点：海涅定理及柯西准则。 教学难点：海涅定理及柯西准则 运用。
教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。 本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限
为例.
一.
Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：
Th 1 设函数在,对任何在点
且
的某空心邻域
内有定义.则极限都存在且相等.( 证 )
存Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为
单调趋于
.参阅[1]P70.例1 证明函数极限的双逼原理.
- 27 《数学分析》教案
第三章 函数极限
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教学难点：两个重要极限的证明及运用。
教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。 一．
（证） （同理有
）
例1
例2 .例3
例4
例5 证明极限 不存在.二.
证 对
有
例6
特别当 等.例7
例8
- 28
29 《数学分析》教案
第三章 函数极限
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三． 等价无穷小：
Th 2 ( 等价关系的传递性 ). 等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3 ( 等价无穷小替换法则 )
几组常用等价无穷小: （见[2]）
例3 时, 无穷小
与
是否等价? 例4
四.无穷大量:
1.定义:
2.性质:
性质1 同号无穷大的和是无穷大.
性质2 无穷大与无穷大的积是无穷大. 性质3 与无界量的关系.
无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果.
3.无穷小与无穷大的关系:
无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大
习 题 课（2学时）
一、理论概述：
- 31 《数学分析》教案
第三章 函数极限
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例7 .求
.注意 时, 且
.先求
由Heine归并原则
即求得所求极限
.
例8 求是否存在.
和.并说明极限
解 ;
可见极限 不存在.
- - 32
高数极限证明
重要极限证明
极限证明（共8篇）
证明函数fx
凸函数证明
第二篇：函数极限的定义证明
习题13
1.根据函数极限的定义证明:
(1)lim(3x1)8;x3
(2)lim(5x2)12;x2
x244;(3)limx2x2
14x3
(4)lim2.
x2x12
1证明 (1)分析 |(3x1)8||3x9|3|x3|, 要使|(3x1)8| , 只须|x3|.3
1证明 因为 0, , 当0|x3|时, 有|(3x1)8| , 所以lim(3x1)8.x33
1(2)分析 |(5x2)12||5x10|5|x2|, 要使|(5x2)12| , 只须|x2|.5
1证明 因为 0, , 当0|x2|时, 有|(5x2)12| , 所以lim(5x2)12.x25
(3)分析
|x(2)|.x24x24x4x24(4)|x2||x(2)|, 要使(4), 只须x2x2x2
x24x24(4), 所以lim4.证明 因为 0, , 当0|x(2)|时, 有x2x2x2
(4)分析 14x31114x312, 只须|x()|.2|12x2|2|x()|, 要使2x12x1222
14x31114x3
2, 所以lim证明 因为 0, , 当0|x()|时, 有2.12x12x122x2.根据函数极限的定义证明:
(1)lim1x3
2x3
sinxx1;2(2)limxx0.
证明 (1)分析
|x|1
1x32x311x3x322x312|x|3, 要使1x32x311, 只须, 即322|x|2.
证明 因为 0, X(2)分析
sinxx0
12
, 当|x|X时, 有1x
1x32x311x31, 所以lim.
x2x322
1x
, 即x
sinxx
|sinx|x
, 要使
sinx
证明 因为0, X
2
, 当xX时, 有
xsinxx
0, 只须
.
0, 所以lim
x
0.
3.当x2时,yx24.问等于多少, 使当|x2|n
解 由于x2, |x2|0, 不妨设|x2|1, 即1x3.要使|x24||x2||x2|5|x2|0.001, 只要
|x2|
0.001
0.0002, 取0.0002, 则当0|x2|时, 就有|x24|0.001.5
x21x
34.当x时, y
x21x23
1, 问X等于多少, 使当|x|>X时, |y1|n
解 要使1
4x23
0.01, 只|x|
3397, X.0.01
5.证明函数f(x)|x| 当x0时极限为零.
x|x|
6.求f(x), (x)当x0时的左﹑右极限, 并说明它们在x0时的极限是否存在.
xx
证明 因为
x
limf(x)limlim11,
x0x0xx0x
limf(x)limlim11,
x0x0xx0limf(x)limf(x),
x0
x0
所以极限limf(x)存在.
x0
因为
lim(x)lim
x0
x0
|x|x
lim1,x0xx|x|xlim1,xx0x
lim(x)lim
x0
x0
lim(x)lim(x),
x0
x0
所以极限lim(x)不存在.
x0
7.证明: 若x及x时, 函数f(x)的极限都存在且都等于A, 则limf(x)A.
x
证明 因为limf(x)A, limf(x)A, 所以>0,
x
x
X10, 使当xX1时, 有|f(x)A| ;X20, 使当xX2时, 有|f(x)A| .
取Xmax{X1, X2}, 则当|x|X时, 有|f(x)A| , 即limf(x)A.
x
8.根据极限的定义证明: 函数f(x)当xx0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.
证明 先证明必要性.设f(x)A(xx0), 则>0, 0, 使当0n
|f(x)A|n
因此当x0n
|f(x)A|n
这说明f(x)当xx0时左右极限都存在并且都等于A .再证明充分性.设f(x00)f(x00)A, 则>0,1>0, 使当x010, 使当x0n
取min{1, 2}, 则当0n
| f(x)A|n
即f(x)A(xx0).
9.试给出x时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.
解 x时函数极限的局部有界性的定理 如果f(x)当x时的极限存在 则存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M
证明 设f(x)A(x) 则对于 1 X0 当|x|X时 有|f(x)A| 1 所以|f(x)||f(x)AA||f(x)A||A|1|A|
这就是说存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M 其中M1|A|
推荐专题： 函数极限运算法则证明