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第一篇：函数极限
《数学分析》教案
第三章 函数极限
xbl
第三章 函数极限
教学目的：
1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质； 2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性； 3.掌握两个重要极限
和
，并能熟练运用；
4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。 教学重（难）点：
本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。
教学时数：16学时
§ 1 函数极限概念 （3学时）
教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。
教学要求：使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。会应用函数极限的定义证明函数的有关命题，并能运用语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。
教学重点：函数极限的概念。
教学难点：函数极限的定义及其应用。
一、复习：数列极限的概念、性质等
二、讲授新课：
（一） 时函数的极限：
- 21 《数学分析》教案
第三章 函数极限
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例4 验证
例5 验证
例6 验证
证 由 =
为使
需有
需有
为使
于是, 倘限制 , 就有
例7 验证
例8 验证 ( 类似有
（三）单侧极限:
1．定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义: 介绍半邻域
- 23 《数学分析》教案
第三章 函数极限
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我们引进了六种极限: .以下以极限
,
为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课：
（一）函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.
局部有界性:
3.
局部保号性:
4.
单调性( 不等式性质 ):
Th 4 若使 ，证 设
和都有 =
( 现证对 都存在, 且存在点
的空心邻域
,
有
註: 若在Th 4的条件中, 改“ 就有
5.6. 以
迫敛性:
”为“ 举例说明.
”, 未必
四则运算性质: ( 只证“+”和“ ”)
（二）利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：
- 25 《数学分析》教案
第三章 函数极限
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例8
例9
例10 已知
求和
补充题:已知
求和 (
) § 3 函数极限存在的条件（4学时）
教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。 教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。 教学重点：海涅定理及柯西准则。 教学难点：海涅定理及柯西准则 运用。
教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。 本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限
为例.
一.
Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：
Th 1 设函数在,对任何在点
且
的某空心邻域
内有定义.则极限都存在且相等.( 证 )
存Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为
单调趋于
.参阅[1]P70.例1 证明函数极限的双逼原理.
- 27 《数学分析》教案
第三章 函数极限
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教学难点：两个重要极限的证明及运用。
教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。 一．
（证） （同理有
）
例1
例2 .例3
例4
例5 证明极限 不存在.二.
证 对
有
例6
特别当 等.例7
例8
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29 《数学分析》教案
第三章 函数极限
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三． 等价无穷小：
Th 2 ( 等价关系的传递性 ). 等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3 ( 等价无穷小替换法则 )
几组常用等价无穷小: （见[2]）
例3 时, 无穷小
与
是否等价? 例4
四.无穷大量:
1.定义:
2.性质:
性质1 同号无穷大的和是无穷大.
性质2 无穷大与无穷大的积是无穷大. 性质3 与无界量的关系.
无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果.
3.无穷小与无穷大的关系:
无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大
习 题 课（2学时）
一、理论概述：
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第三章 函数极限
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例7 .求
.注意 时, 且
.先求
由Heine归并原则
即求得所求极限
.
例8 求是否存在.
和.并说明极限
解 ;
可见极限 不存在.
- - 32
高数极限证明
重要极限证明
极限证明（共8篇）
证明函数fx
凸函数证明
第二篇：元函数极限证明
二元函数极限证明
二元函数极限证明
设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。
此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。
我们必须注意有以下几种情形：’
(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在 (2)两个二次极限存在而不相等
(3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在 2 函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0) 根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|
而|x-x0|
又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)| 证毕
3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。
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二元函数极限证明
1，y以y=x^2-x的路径趋于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。
2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。
4 f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x) 显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在
当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在
而当x->0,y->0时
由|sin(1/x)|0,y->0时，f的极限就为0 这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的
正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了 就我这个我就线了好久了 5
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二元函数极限证明
(一)时函数的极限： 以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.) 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证…… (二)时函数的极限： 由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有 例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
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二元函数极限证明
=§2函数极限的性质(3学时) 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 教学方法：讲练结合。 一、组织教学：
我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：
(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性(不等式性质): th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有) 註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性: 6.四则运算性质:(只证“+”和“”)
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二元函数极限证明
(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限： (注意前四个极限中极限就是函数值) 这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1(利用极限和) 例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4 例5例6例7 §2二元函数的极限 (一)教学目的：
掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系．
(二)教学内容：二元函数的极限的定义；累次极限． 基本要求：
(1)掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法．
(2)较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题．
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二元函数极限证明
(三)教学建议：
(1)要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极
限的方法．
(2)对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法．
一二元函数的极限
先回忆一下一元函数的极限：limf(x)?a的“???”定义(c31)： x?x0 0设函数f(x)在x0的某一空心邻域u(x0,?1)内由定义，如果对 ???0,当
x?u(x0,?)
，
即
|x?x0|??
时
，
都
有|f(x)?a|??，???0,???1，
则称x?x0时，函数f(x)的极限是a.类似的，我们也可以定义二元函数的极限如下：
设二元函数f(x,y)为定义在d?r2上的二元函数，在点p0(x0,y0)为d的一个聚点，
a是一个确定的常数，如果对???0,???0，使得当p(x,y)?u(p0,?)?d时，0都有|f(p)?a|??，则称f在d上当p?p0时，以a为极限。记作
p?p0p?dlimf(p)?a
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二元函数极限证明
也可简写为limf(p)?a或 p?p0(x,y)?(x0,y0) 2limf(x,y)?a例1用定义验证 2lim(x,y)?(2,1)2(x?xy?y)?7222明:|x?xy?y?7|?|x?x?6?xy?x?y?1| ?|x?3||x?2|?|x?y?1||y?1| 限制在（2，1）的邻域{(x,y)||x?2|?1,|y?1|?1} |x?3|?6, |x?y?1|?6 取??min{1,?/6}，则有 |x?xy?y|?? 由二元函数极限定义lim (x,y)?(2,1) (x?xy?y)?7 22 22 ?x?y ,(x,y)?(0,0)?xy22 例2f(x,y)??x?y， ?0,(x,y)?(0,0)?
证
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二元函数极限证明
证明lim (x,y)?(0,0) f(x,y)?0 x?yx?y 22 22 证|f(x,y)|?|xy 所以 lim (x,y)?(0,0) |?|xy| lim (x,y)?(0,0) |f(x,y)|?lim (x,y)?(0,0) |xy|?0 |f(x,y)|?0 对于二元函数的极限的定义，要注意下面一点： p?p0
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二元函数极限证明
limf(p)?a是指：p(x,y)以任何方式趋于p0(x0,y0)，包括沿任何直线，沿任
何曲线趋于p0(x0,y0)时，f(x,y)必须趋于同一确定的常数。 对于一元函数，x仅需沿x轴从x0的左右两个方向趋于x0，但是对于二元函数，p趋于p0的路线有无穷多条，只要有两条路线，p趋于p0时，函数f(x,y)的值趋于不同的常数，二元函数在p0点极限就不存在。
?1,0?y?x2 例1二元函数f(x,y)?? ?0,rest 请看图像（x62），尽管p(x,y)沿任何直线趋于原点时f(x,y)都趋于零，但也不能说该函数在原点的极限就是零，因为当p(x,y)沿抛物线y?kx,0?k?1时，f(x,y)的值趋于１而不趋于零，所以极限不存在。
(考虑沿直线y?kx的方向极限).?x2y ,? 例2设函数f(x,y)??x2?y2 ?0,? (x.,y)?(0,0)(x,y)?(0,0) 求证limf(x,y)?0
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二元函数极限证明
x?0 y?0 证明因为|f(x,y)?0|? x|y|x?y ? x|y|x ?|y| 所以，当(x,y)?(0,0)时，f(x,y)?0。
请看它的图像，不管p(x,y)沿任何方向趋于原点，f(x,y)的值都趋于零。
通常为证明极限limf(p)不存在,可证明沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两
p?p0 个方向的极限不相等,或证明方向极限与方向有关.但应注意,沿任何方向的极限存在且相等??全面极限存在.例3 设函数
(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0) ?xy ,?22 f(x,y)??x?y
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二元函数极限证明
?0,? 证明函数f(x,y)在原点处极限不存在。 证明尽管p(x,y)沿ｘ轴和ｙ轴
趋于原点时(f(x,y)的值都趋于零，但沿直线y?mx趋于原点时 x?mxx?(mx) f(x,y)?? mx 22 (1?m)x ? m1?m 沿斜率不同的直线趋于原点时极限不一样，请看它的图象,例１沿任何路线趋于原点时，
极
限都是0，但例２沿不同的路线趋于原点时，函数趋于不同的值，所以其极限不存在。
例4 非正常极限极限 lim (x,y)?(x0,y0)
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二元函数极限证明
判别函数f(x,y)? xy?1?1x?y 在原点是否存在极限.f(x,y)???的定义: 12x?3y 例1设函数f(x,y)?证明limf(x,y)?? x?0y?0 证| 12x?3y |?| 13(x?y) | 只要取?? 16m |x?0|??,|y?0|??时，都有 | 12x?3y16? 22 |?| 13(x?y)
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二元函数极限证明
| ??m 12x?3y 请看它的图象，因此是无穷大量。 例2求下列极限:i) lim xyx?y 22 ;ii) (x,y)?(0,0)(x,y)?(3,0) lim sinxyy ; iii) (x,y)?(0,0) lim xy?1?1xy ;iv) (x,y)?(0,0) lim
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二元函数极限证明
ln(1?x?y) x?y 22 .二.累次极限:累次极限
前面讲了p(x,y)以任何方式趋于p0(x0,y0)时的极限，我们称它为二重极限，对于两个自变量x,y依一定次序趋于x0,y0时f(x,y)的极限，称为累次极限。对于二元函数f(x,y)在p0(x0,y0)的累次极限由两个
limlimf(x,y)和limlimf(x,y) y?y0x?x0 x?x0y?y0 例1 f(x,y)? xyx?yx?yx?y 222 ,求在点(0,0)的两个累次极限.22 例2f(x,y)?,求在点(0,0)的两个累次极限.例3f(x,y)?xs(请你支持：)in
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二元函数极限证明
1y ?ysin 1x ,求在点(0,0)的两个累次极限.二重极限与累次极限的关系: （１）两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限
例函数f(x,y)? x?y?x?y x?y 22 的两个累次极限是y?yyx?xx 22 limlim x?y?x?y x?yx?y?x?y x?y y?0x?0 ?lim y?0
15 / 29 时一定要注意不能随意改变它们的次序。二元函数极限证明
?lim(y?1)??1 y?0 ?lim(x?1)?1 x?0 limlim x?0y?0 ?lim x?0 （２）两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在例f(x,y)? xyx?y xyx?y ，两个累次极限都存在 limlim y?0x?0 ?0,limlim xyx?y x?0y?0 ?0
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二元函数极限证明
但二重极限却不存在，事实上若点p(x,)沿直线y?kx趋于原点时，
kx f(x,y)? x?(kx) ? k1?k 二重极限存在也不能保证累次极限存在
二重极限存在时,两个累次极限可以不存在.例函数f(x,y)?xsin 1y?ysin 1x 由|f(x,y)|?|x|?|y|?0,(x,y)?(0,0).可见二重极限存在,但 1x limsin x?0 和limsin y?0 1y 不存在，从而两个累次极限不存在。 （4）二重极限极限lim
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二元函数极限证明
(x,y)?(x0,y0) f(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一次序)都存 x?x0y?y0 在,则必相等.(证) （5）累次极限与二重极限的关系
若累次极限和二重极限都存在，则它们必相等 二元函数极限的研究 作者：郑露遥指导教师：杨翠
摘要函数的极限是高等数学重要的内容，二元函数的极限是一元函数极限的基础上发展起来的，本文讨论了二元函数极限的定义、二元函数极限存在或不存在的判定方法、求二元函数极限的方法、简单讨论二元函数极限与一元函数极限的关系以及二元函数极限复杂的原因、最后讨论二重极限与累次极限的关系。
关键词二元函数极限、累次极限、二重极限、连续性、判别法、洛必达法则、运算定理
1引言
函数的极限是高等数学中非常重要的内容,关于一元函数的极限及其求法,各种教材中都有详尽的说明。二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的,两者之间既有联系又有区别。例如,在极运算法则上,它们是一致的,但随着变量个数的增加,二元函数极限比一元函数
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二元函数极限证明
极限变得复杂得多,但目前的各类教材、教学参考书中有关二元函数极限的求法介绍不够详二元函数的极限是反映函数在某一领域内的重要属性的一个基本概念,它刻划了当自变量趋向于某一个定值时,函数值的变化趋势。是高等数学中一个极其重要的问题。但是,一般来说,二元函数的极限比起一元函数的极限,无论从计算还是证明都具有更大的难度。本文就二元函数极限的问题作如下探讨求一元函数的极限问题,主要困难多数集中于求未定型极限问题,而所有未定型的极限又总可转化为两类基本型即00与∞∞型,解决这两类基本未定型的有力工具是洛泌达(lhospital)法则。类似地,二元函数基本未定型的极限问题也有相似的洛泌达法则。为了叙述上的方便,对它的特殊情形(即(x0,y0)=(0,0))作出如下研究,并得到相应的法则与定理。二元函数的极限是反映函数在某一领域内的重要属性的一个基本概念,它刻划了当自变量趋向于某一个定值时,函数
值的变化趋势。是高等数学中一个极其重要的问题。但是,一 般来说,二元函数的极限比起一元函数的极限,无论从计算还 是证明都具有更大的难度。本文就二元函数极限的问题作如 下探讨。
§2.3二元函数的极限与连续 定义
设二元函数有意义,若存在
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二元函数极限证明
常数a, 都有
则称a是函数当点趋于点 或 或
趋于点时的极限,记作 。
的方式无关,即不,当（即）时，在点的某邻域内或 必须注意这个极限值与点 论p以什么方
向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向
分接近,就能使。只要p与充与a接近到预先任意指定的程度。注意：点p趋于点点方式可有无穷多
种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。 图8-7 同样我们可用归结原则,若发现点p按两个特殊的路径趋于点时, 极限 在该点
存在,但不相等,则可以判定元函数极限不存在的重要方法之一。 极限不存在。这是判断多
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二元函数极限证明
一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论,在二元函数极
限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。例如若 有 ,其中 。
求多元函数的极限,一般都是转化为一元函数的极限来求,或利用夹逼定理
来计算。例4求。解由于 , 而
,根据夹逼定理知 ,所以。 a≠0) 。 解 例 求 （
。例6求。解
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二元函数极限证明
由于理知
且,所以根据夹逼定 .例7 研究函数 在点
处极限是否存在。解当x2 +y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于 （0，0 ）的极限，有值，可得到不同的极限值,所以极限 不存在,但
,。很显然，对于不同的k 。
注意：极限方式的 的区别,前面两个求
本质是两次求一元函数的极限,我们称为累次极限,而最后一个是求二元函数的
极限,我们称为求二重极限。 例8 设函数极限都不存在,因 为对任何
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二元函数极限证明
,当 时 , 。它关于原点的两个累次 的第二项不存在极限；同理对任何 时,的第一项也不存在极限, 但是因此 。
由例7知,两次累次极限存在,但二重极限不存在。由例8可知,二重极限存
在,但二个累次极限不存在。我们有下面的结果:定理1若累次极限
都存在,则
三者相等（证明略）。推论 若但不相等, 则二重极限 不 存在 和二重极 限
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二元函数极限证明
, 由于 , 存在。定义设
在点的某邻域内有意义, 且称 函 数 ,则 在 点 处 连 续 , 记
上式称为函数(值)的全增量 。 则。
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二元函数极限证明
定义 增量。
为函数(值)对x的偏 二元函数连续的定义可写为 偏增量。 若 断点,若 在点
为函数（值）对y的 处不连续, 则称点 是 的间 在某区域
在区域g上连续。若 在闭区域g g上每一点都连续,则称的每一内点都连续,并在g的连界点 处成立 , 则称
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二元函数极限证明
为连续曲面。
在闭域g上连续。闭域上连续的二元函数的图形称
关于一元函数连续的有关性质,如最值定理、介值定理、cantor 定理,对于
二元函数也相应成立。可以证明如下的重要结果：定理2设 在平面有界闭区域g上连续,则
（1）必在g上取到最大值,最小值及其中间的一切值;（2 ） ,当 时,都有
。以上关于二元函数的 在g上一致连续,即
极限和连续的有关性质和结论在n元函数中仍然成立。 函数极限的证明 (一)时函数的极限： 以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.) 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
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二元函数极限证明
例1验证例2验证例3验证证…… (二)时函数的极限： 由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有 例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有 =§2函数极限的性质(3学时) 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不
教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。
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教学方法：讲练结合。 一、组织教学：
我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：
(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性(不等式性质): th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有) 註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性: 6.四则运算性质:(只证“+”和“”)
(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限： (注意前四个极限中极限就是函数值) 这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
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二元函数极限证明
例1(利用极限和) 例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4 例5例6例7 函数极限证明 函数极限的性质证明 函数极限的定义证明 利用函数极限定义证明11 用定义证明函数极限方法总结
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推荐专题： 函数极限的唯一性证明