函数极限证明_证明

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第一篇：函数极限的性质证明

函数极限的性质证明

X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限

求极限我会

|Xn+1-A|

以此类推，改变数列下标可得|Xn-A|

|Xn-1-A|

……

|X2-A|

向上迭代，可以得到|Xn+1-A|

2只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。

用数学归纳法：

①证明{x(n)}单调增加。

x(2)=√=√5>x(1);

设x(k+1)>x(k)，则

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②证明{x(n)}有上界。

x(1)=1

设x(k)

x(k+1)=√

3当0

当0

构造函数f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，则：t>

1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

则：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分别求导)

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

所以，对于数列n*a^n，其极限为0

用数列极限的定义证明

3.根据数列极限的定义证明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n个9

5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。Lim就省略不打了。。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了

第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行

第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的)

第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0

不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0

第二篇：函数极限

习题

1.按定义证明下列极限:

(1) limx6x5=6 ;(2) lim(x2-6x+10)=2; x2x

x251 ;(4) lim(3) lim2xx1x2

(5) limcos x = cos x0 xx04x2=0;

2.根据定义2叙述limf (x) ≠ A.xx0

3.设limf (x) = A.,证明limf (x0+h) = A.xx0h0

4.证明:若limf (x) = A,则lim| f (x)| = |A|.当且仅当A为何值时反之也成立? xx0xx0

5.证明定理3.1

6.讨论下列函数在x0→0 时的极限或左、右极限: (1)f(x)=x

x;(2) f(x) = [x]

2x;x0.(3) f (x)=0;x0.

1x2,x0.

7.设 limf (x) = A,证明limf (xxx01) = A x

8.证明:对黎曼函数R(x)有limR (x) = 0 , x0∈[0,1](当x0=0或1时,考虑单侧极限).xx0

习题

1．求下列极限：

x21 （1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim; x02x2x1x22

x21x113x;

lim(3) lim;(4)

x12x2x1x0x22x3

xn1(5) limm(n,m 为正整数)；（6）lim

x1xx41

（7）lim

x0

2x3x2

；

a2xa3x68x5.

（a>0）;(8) lim

xx5x190

2．利用敛性求极限： (1) lim

x

xcosxxsinx

;(2) lim2

x0xx4

xx0

3．设 limf(x)=A, limg(x)=B.证明：

xx0

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;

xx0

（2）lim[f(x)g(x)]=AB;

xx0

（3）lim

xx0

f(x)A

=(当B≠0时) g(x)B

4．设

a0xma1xm1am1xam

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn1

b0xb1xbn1xbn

试求 limf(x)

x

5．设f(x)>0, limf(x)=A.证明

xx0

lim

f(x)=A，

其中n≥2为正整数.6.证明limax=1(0n

x0

7.设limf(x)=A, limg(x)=B.

xx0

(1)若在某∪(x0)内有f(x)

（2）证明：若A>B,则在某∪(x0)内有f(x) > g(x).8.求下列极限（其中n皆为正整数）： (1) lim 

x0

x11

lim;(2);nnx0x1xx1x

xx2xnn

(3) lim ;(4) lim

x0x0x1

x1

(5) lim

x

x(提示：参照例1)

x0

9．（1）证明：若limf (x3)存在，则limf (x)= lim f (x3)（2）若limf (x2)存在，试问是否成立limf (x) =limf (x2) ?

x0

习题

1.叙述函数极限limf(x)的归结原则,并应用它证明limcos x不存在.

n

2.设f 为定义在[a,+)上的增(减)函数.证明: lim= f(x)存在的充要条件是f在

n

[a,+)上有上(下)界.

3.(1)叙述极限limf (x)的柯西准则;

n

(2)根据柯西准则叙述limf (x)不存在的充要条件,并应用它证明limsin x不存在.

n

4.设f在∪0(x0)内有定义.证明:若对任何数列{xn}∪0(x0)且limxn=x0,极限limf(xn)都

n

存在,则所有这极限都相等.

提示: 参见定理3.11充分性的证明.

5设f为∪0(x0)上的递减函数.证明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0) =supf(x),f(x0+0)=

0xu

x0

0xun(x0)

inff (x)

6.设 D(x)为狄利克雷函数,x0∈R证明limD(x)不存在.

xx0

7.证明:若f为周期函数,且limf(x)=0,则f(x)=0

x

8.证明定理3.9

习题

1.求下列极限

sin2xsinx3

(1) lim;(2) lim

x0x0sinx2x

(3) lim

x

cosxx



tanxsinxarctanx

lim(5) lim;(6) ; 3x0x0xx

sin2xsin2a1

(7) limxsin ;(8) lim;

xxaxxa

;(4) lim

x0

tanx

; x

cosx2

(9) lim;(10) lim

x0x01cosxx11

sin4x

2.求下列极限

12x

(1) lim(1);(2) lim1axx(a为给定实数);

nx0x

(3) lim1tanx

x0

cotx

;(4) lim

1x

;

x01x

(5) lim(

x

3x22x1

);(6) lim(1)x(,为给定实数)

n3x1x

3.证明:limlimcosxcoxcos4.利用归结原则计算下列极限: (1) limnsin

n



x0n





xxcos1 2n22



;(2)

习题

1．证明下列各式

(1) 2x－x2=O(x) (x→0);(2)x sinxO(x)(x→0);

(3)x1o(1) (x→0);

(4) (1+x)n= 1+ nx+o (x) (x→0)(n 为正整数) (5) 2x3 + x2=O(x3)(x→∞) ;

(6) o (g(x))±o(g(x)) =o(g(x))(x→x0)

(7) o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0) 2．应用定理3.12求下列极限：

x21x(1) lim(2)lim x01cosxxxcosx

x3．证明定理3.13

4．求下列函数所表示曲线的渐近线：

13x34

(1) y = ;(2) y = arctan x ;(3)y = 2

xx2x

5．试确定a的值，使下列函数与xa当x→0时为同阶无穷小量：

(1) sin2x－2sinx ;(2)

－ (1－x); 1x

(3)tanxsinx;(4)

x24x3

6．试确定a的值，使下列函数与xa当x→∞时为同阶无穷大量：

(1)

x2x5;(2)x+x2 (2+sinx);

(3) (1+x)(1+x2)…(1+xn).

7．证明：若S为无上界数集，则存在一递增数列{xn}s，使得xn→+∞(n→∞)

8．证明：若f为x→r时的无穷大量，而函数g在某U0(r)上满足g(x)≥K>0，则fg为x→r

时的无穷大量。

9．设 f(x)~g(x) (x→x0)，证明：

f ( x )－g ( x ) = o ( f ( x ) )或 f ( x )－g ( x ) = o ( g ( x ) )

总练习题

1．求下列极限：

1

(x[x])lim([x]1)(1) lim;(2)

x3

x1

(3) lim(

x

axbxaxbx)

xxa

(4) lim

x

(5)lim

xxa

x

(6) lim

xxxx

x0

(7) lim

nm

,m,n 为正整数 nx11xm1x

2．分别求出满足下述条件的常数a与b：

x21

(1) limaxb0 xx1

x(3) limx

(2) lim

xxx2

x1axb0

x1axb0

x2

3．试分别举出符合下列要求的函数f：

(1) limf(x)f(2)；(2) limf(x)不存在。

4．试给出函数f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一点x0处有limf(x)0。这同极限的

xx0

局部保号性有矛盾吗？

5．设limf(x)A，limg(u)B，在何种条件下能由此推出

xa

gA

limg(f(x))B?

xa

6．设f (x)=x cos x。试作数列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0 (n→∞); (2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0 (n→∞); (3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0 (n→∞).

7．证明：若数列{an}满足下列条件之一，则{an}是无穷大数列：

(1) limanr1

n

(2) lim

an1

s1(an≠0,n=1,2,…)

nan

8．利用上题（1）的结论求极限：

(1) lim1

n

11(2) lim1

nnn

9．设liman，证明

n

(1) lim

(a1a2an) nn

n

(2)若an > 0(n=1,2,…),则lima1a2an 10.利用上题结果求极限：

(1)limn!(2) lim

n

In(n!)

nn

11.设f为U-0(x0)内的递增函数。证明：若存在数列{xn}U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得

limf(xn)A，则有

n

f (x0－0) =

supf(x)A

0xU(x0)

12.设函数f在(0,+∞)上满足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)A。证明：f(x)A，x∈(0,+∞)

x

13.设函数f在(0,+∞)此上满足方程f (x2) = f (x)，且

f(x)=limf(x)f(1)lim

x0

x

证明：f(x)f(1)，x∈(0,+∞)

14.设函数f定义在(a,+∞)上，f在每一个有限区间内(a,b)有界，并满足

x

lim(f(x1)f(1))A证明

x

lim

f(x)

A x

第三篇：函数极限的性质证明

函数极限的性质证明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限求极限我会

|Xn+1-A|

|X2-A|

①证明{x(n)}单调增加。

x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1); 设x(k+1)>x(k)，则

x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。 ②证明{x(n)}有上界。 x(1)=1

x(k+1)=√[2+3x(k)]1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1) 则：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，对于数列n*a^n，其极限为0 4 用数列极限的定义证明

3.根据数列极限的定义证明： (1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞

(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞

(3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0 n→∞

(4)lim0.999…9=1 n→∞ n个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。Lim就省略不打了。。。

第四篇：元函数极限证明

二元函数极限证明

设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。

此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。

我们必须注意有以下几种情形：’

(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在 (2)两个二次极限存在而不相等

(3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在 2 函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0) 根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|

而|x-x0|

又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)| 证毕

3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。

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二元函数极限证明

1，y以y=x^2-x的路径趋于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。

2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。

4 f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x) 显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在

当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在

而当x->0,y->0时

由|sin(1/x)|0,y->0时，f的极限就为0 这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的

正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了就我这个我就线了好久了 5

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二元函数极限证明

(一)时函数的极限： 以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.) 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证…… (二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

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二元函数极限证明

=§2函数极限的性质(3学时) 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性(不等式性质): th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有) 註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性: 6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

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二元函数极限证明

(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限： (注意前四个极限中极限就是函数值) 这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1(利用极限和) 例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4 例5例6例7 §2二元函数的极限 (一)教学目的：

掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系．

(二)教学内容：二元函数的极限的定义；累次极限．基本要求：

(1)掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法．

(2)较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题．

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二元函数极限证明

(三)教学建议：

(1)要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极

限的方法．

(2)对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法．

一二元函数的极限

先回忆一下一元函数的极限：limf(x)?a的“???”定义(c31)： x?x0 0设函数f(x)在x0的某一空心邻域u(x0,?1)内由定义，如果对 ???0,当

x?u(x0,?)

，

即

|x?x0|??

时

，

都

有|f(x)?a|??，???0,???1，

则称x?x0时，函数f(x)的极限是a.类似的，我们也可以定义二元函数的极限如下：

设二元函数f(x,y)为定义在d?r2上的二元函数，在点p0(x0,y0)为d的一个聚点，

a是一个确定的常数，如果对???0,???0，使得当p(x,y)?u(p0,?)?d时，0都有|f(p)?a|??，则称f在d上当p?p0时，以a为极限。记作

p?p0p?dlimf(p)?a

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二元函数极限证明

也可简写为limf(p)?a或 p?p0(x,y)?(x0,y0) 2limf(x,y)?a例1用定义验证 2lim(x,y)?(2,1)2(x?xy?y)?7222明:|x?xy?y?7|?|x?x?6?xy?x?y?1| ?|x?3||x?2|?|x?y?1||y?1| 限制在（2，1）的邻域{(x,y)||x?2|?1,|y?1|?1} |x?3|?6, |x?y?1|?6 取??min{1,?/6}，则有 |x?xy?y|?? 由二元函数极限定义lim (x,y)?(2,1) (x?xy?y)?7 22 22 ?x?y ,(x,y)?(0,0)?xy22 例2f(x,y)??x?y， ?0,(x,y)?(0,0)?

证

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二元函数极限证明

证明lim (x,y)?(0,0) f(x,y)?0 x?yx?y 22 22 证|f(x,y)|?|xy 所以 lim (x,y)?(0,0) |?|xy| lim (x,y)?(0,0) |f(x,y)|?lim (x,y)?(0,0) |xy|?0 |f(x,y)|?0 对于二元函数的极限的定义，要注意下面一点： p?p0

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二元函数极限证明

limf(p)?a是指：p(x,y)以任何方式趋于p0(x0,y0)，包括沿任何直线，沿任

何曲线趋于p0(x0,y0)时，f(x,y)必须趋于同一确定的常数。对于一元函数，x仅需沿x轴从x0的左右两个方向趋于x0，但是对于二元函数，p趋于p0的路线有无穷多条，只要有两条路线，p趋于p0时，函数f(x,y)的值趋于不同的常数，二元函数在p0点极限就不存在。

?1,0?y?x2 例1二元函数f(x,y)?? ?0,rest 请看图像（x62），尽管p(x,y)沿任何直线趋于原点时f(x,y)都趋于零，但也不能说该函数在原点的极限就是零，因为当p(x,y)沿抛物线y?kx,0?k?1时，f(x,y)的值趋于１而不趋于零，所以极限不存在。

(考虑沿直线y?kx的方向极限).?x2y ,? 例2设函数f(x,y)??x2?y2 ?0,? (x.,y)?(0,0)(x,y)?(0,0) 求证limf(x,y)?0

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二元函数极限证明

x?0 y?0 证明因为|f(x,y)?0|? x|y|x?y ? x|y|x ?|y| 所以，当(x,y)?(0,0)时，f(x,y)?0。

请看它的图像，不管p(x,y)沿任何方向趋于原点，f(x,y)的值都趋于零。

通常为证明极限limf(p)不存在,可证明沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两

p?p0 个方向的极限不相等,或证明方向极限与方向有关.但应注意,沿任何方向的极限存在且相等??全面极限存在.例3 设函数

(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0) ?xy ,?22 f(x,y)??x?y

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二元函数极限证明

?0,? 证明函数f(x,y)在原点处极限不存在。证明尽管p(x,y)沿ｘ轴和ｙ轴

趋于原点时(f(x,y)的值都趋于零，但沿直线y?mx趋于原点时 x?mxx?(mx) f(x,y)?? mx 22 (1?m)x ? m1?m 沿斜率不同的直线趋于原点时极限不一样，请看它的图象,例１沿任何路线趋于原点时，

极

限都是0，但例２沿不同的路线趋于原点时，函数趋于不同的值，所以其极限不存在。

例4 非正常极限极限 lim (x,y)?(x0,y0)

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二元函数极限证明

判别函数f(x,y)? xy?1?1x?y 在原点是否存在极限.f(x,y)???的定义: 12x?3y 例1设函数f(x,y)?证明limf(x,y)?? x?0y?0 证| 12x?3y |?| 13(x?y) | 只要取?? 16m |x?0|??,|y?0|??时，都有 | 12x?3y16? 22 |?| 13(x?y)

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二元函数极限证明

| ??m 12x?3y 请看它的图象，因此是无穷大量。例2求下列极限:i) lim xyx?y 22 ;ii) (x,y)?(0,0)(x,y)?(3,0) lim sinxyy ; iii) (x,y)?(0,0) lim xy?1?1xy ;iv) (x,y)?(0,0) lim

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二元函数极限证明

ln(1?x?y) x?y 22 .二.累次极限:累次极限

前面讲了p(x,y)以任何方式趋于p0(x0,y0)时的极限，我们称它为二重极限，对于两个自变量x,y依一定次序趋于x0,y0时f(x,y)的极限，称为累次极限。对于二元函数f(x,y)在p0(x0,y0)的累次极限由两个

limlimf(x,y)和limlimf(x,y) y?y0x?x0 x?x0y?y0 例1 f(x,y)? xyx?yx?yx?y 222 ,求在点(0,0)的两个累次极限.22 例2f(x,y)?,求在点(0,0)的两个累次极限.例3f(x,y)?xs(请你支持：)in

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二元函数极限证明

1y ?ysin 1x ,求在点(0,0)的两个累次极限.二重极限与累次极限的关系: （１）两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限

例函数f(x,y)? x?y?x?y x?y 22 的两个累次极限是y?yyx?xx 22 limlim x?y?x?y x?yx?y?x?y x?y y?0x?0 ?lim y?0

15 / 29 时一定要注意不能随意改变它们的次序。二元函数极限证明

?lim(y?1)??1 y?0 ?lim(x?1)?1 x?0 limlim x?0y?0 ?lim x?0 （２）两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在例f(x,y)? xyx?y xyx?y ，两个累次极限都存在 limlim y?0x?0 ?0,limlim xyx?y x?0y?0 ?0

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二元函数极限证明

但二重极限却不存在，事实上若点p(x,)沿直线y?kx趋于原点时，

kx f(x,y)? x?(kx) ? k1?k 二重极限存在也不能保证累次极限存在

二重极限存在时,两个累次极限可以不存在.例函数f(x,y)?xsin 1y?ysin 1x 由|f(x,y)|?|x|?|y|?0,(x,y)?(0,0).可见二重极限存在,但 1x limsin x?0 和limsin y?0 1y 不存在，从而两个累次极限不存在。（4）二重极限极限lim

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二元函数极限证明

(x,y)?(x0,y0) f(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一次序)都存 x?x0y?y0 在,则必相等.(证) （5）累次极限与二重极限的关系

若累次极限和二重极限都存在，则它们必相等二元函数极限的研究作者：郑露遥指导教师：杨翠

摘要函数的极限是高等数学重要的内容，二元函数的极限是一元函数极限的基础上发展起来的，本文讨论了二元函数极限的定义、二元函数极限存在或不存在的判定方法、求二元函数极限的方法、简单讨论二元函数极限与一元函数极限的关系以及二元函数极限复杂的原因、最后讨论二重极限与累次极限的关系。

关键词二元函数极限、累次极限、二重极限、连续性、判别法、洛必达法则、运算定理

1引言

函数的极限是高等数学中非常重要的内容,关于一元函数的极限及其求法,各种教材中都有详尽的说明。二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的,两者之间既有联系又有区别。例如,在极运算法则上,它们是一致的,但随着变量个数的增加,二元函数极限比一元函数

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二元函数极限证明

极限变得复杂得多,但目前的各类教材、教学参考书中有关二元函数极限的求法介绍不够详二元函数的极限是反映函数在某一领域内的重要属性的一个基本概念,它刻划了当自变量趋向于某一个定值时,函数值的变化趋势。是高等数学中一个极其重要的问题。但是,一般来说,二元函数的极限比起一元函数的极限,无论从计算还是证明都具有更大的难度。本文就二元函数极限的问题作如下探讨求一元函数的极限问题,主要困难多数集中于求未定型极限问题,而所有未定型的极限又总可转化为两类基本型即00与∞∞型,解决这两类基本未定型的有力工具是洛泌达(lhospital)法则。类似地,二元函数基本未定型的极限问题也有相似的洛泌达法则。为了叙述上的方便,对它的特殊情形(即(x0,y0)=(0,0))作出如下研究,并得到相应的法则与定理。二元函数的极限是反映函数在某一领域内的重要属性的一个基本概念,它刻划了当自变量趋向于某一个定值时,函数

值的变化趋势。是高等数学中一个极其重要的问题。但是,一般来说,二元函数的极限比起一元函数的极限,无论从计算还是证明都具有更大的难度。本文就二元函数极限的问题作如下探讨。

§2.3二元函数的极限与连续定义

设二元函数有意义,若存在

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二元函数极限证明

常数a, 都有

则称a是函数当点趋于点或或

趋于点时的极限,记作。

的方式无关,即不,当（即）时，在点的某邻域内或必须注意这个极限值与点论p以什么方

向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向

分接近,就能使。只要p与充与a接近到预先任意指定的程度。注意：点p趋于点点方式可有无穷多

种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。图8-7 同样我们可用归结原则,若发现点p按两个特殊的路径趋于点时, 极限在该点

存在,但不相等,则可以判定元函数极限不存在的重要方法之一。极限不存在。这是判断多

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二元函数极限证明

一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论,在二元函数极

限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。例如若有 ,其中。

求多元函数的极限,一般都是转化为一元函数的极限来求,或利用夹逼定理

来计算。例4求。解由于 , 而

,根据夹逼定理知 ,所以。 a≠0) 。解例求（

。例6求。解

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二元函数极限证明

由于理知

且,所以根据夹逼定 .例7 研究函数在点

处极限是否存在。解当x2 +y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于（0，0 ）的极限，有值，可得到不同的极限值,所以极限不存在,但

,。很显然，对于不同的k 。

注意：极限方式的的区别,前面两个求

本质是两次求一元函数的极限,我们称为累次极限,而最后一个是求二元函数的

极限,我们称为求二重极限。例8 设函数极限都不存在,因为对任何

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二元函数极限证明

,当时 , 。它关于原点的两个累次的第二项不存在极限；同理对任何时,的第一项也不存在极限, 但是因此。

由例7知,两次累次极限存在,但二重极限不存在。由例8可知,二重极限存

在,但二个累次极限不存在。我们有下面的结果:定理1若累次极限

都存在,则

三者相等（证明略）。推论若但不相等, 则二重极限不存在和二重极限

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二元函数极限证明

, 由于 , 存在。定义设

在点的某邻域内有意义, 且称函数 ,则在点处连续 , 记

上式称为函数(值)的全增量。则。

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二元函数极限证明

定义增量。

为函数(值)对x的偏二元函数连续的定义可写为偏增量。若断点,若在点

为函数（值）对y的处不连续, 则称点是的间在某区域

在区域g上连续。若在闭区域g g上每一点都连续,则称的每一内点都连续,并在g的连界点处成立 , 则称

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二元函数极限证明

为连续曲面。

在闭域g上连续。闭域上连续的二元函数的图形称

关于一元函数连续的有关性质,如最值定理、介值定理、cantor 定理,对于

二元函数也相应成立。可以证明如下的重要结果：定理2设在平面有界闭区域g上连续,则

（1）必在g上取到最大值,最小值及其中间的一切值;（2 ） ,当时,都有

。以上关于二元函数的在g上一致连续,即

极限和连续的有关性质和结论在n元函数中仍然成立。函数极限的证明 (一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.) 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

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二元函数极限证明

例1验证例2验证例3验证证…… (二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有 =§2函数极限的性质(3学时) 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不

教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。

27 / 29 等式性质以及有理运算性等。二元函数极限证明

教学方法：讲练结合。一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：

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二元函数极限证明

例1(利用极限和) 例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4 例5例6例7 函数极限证明函数极限的性质证明函数极限的定义证明利用函数极限定义证明11 用定义证明函数极限方法总结

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第五篇：导数与微分的应用举例

江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文

导数与微分的应用举例

Examples of applications of the derivative

and differential

姓名：吴文才

学号：0707010193

学院：数信学院

专业：数学与应用数学

班级：07数学（3）班

指导老师：桂国祥 (讲师）

完成时间：2011年2月22日

导数与微分的应用

吴文才

【摘要】本文通过对导数与微分的基本理论来解决数学中的相关问题，通过例题从简单应用和综合应用来说明导数与微分的应用，如在函数单调性、极值，不等式证明、实际问题应用介绍，还有在高等数学中运用导数与微分求不定式极限的介绍。同样在实际中利用微分把非线性函数线性化，复杂的计算简单化，把导数引入经济学, 使经济学研究的对象从常量进入变量, 可以说运动进入了经济学,, 辩证法进入了经济学, 这在经济学的发展史上具有重要的意义。来说明导数与微分的重要性，以及在数学生活领域的广泛应用。

【关键词】导数微分函数极值近似值

Examples of applications of the derivative and differential

Wu wen cai

【Abstract 】 Based on the basic theories of differential and derivative, this paper aims to solve the questions related in mathematics and make an illustration of the application of derivative and differential through the simple application and comprehensive application by instances, such as introduction of application in functional monotonic, extreme, inequality proof and practical questions, and to introduce the methods of using derivatives and differential in higher mathematics to solve questions of quadrate infinitive limit. As well as mineralizing the nonlinear function and the simplification of complex calculation by differential in practice, introducing derivative into the economics research to turn the objects from constant into variables, thus movements and dialectics entering economics, which is a landmark with a vital significance in the history of Economics. The importance of derivative and differential, along with the wide application in mathematics and daily life will both be illustrated in this paper.

【Keywords 】derivative differentia functions extreme approximation

1 引言 . ............................................................. 1

2 预备知识 . ......................................................... 2

3导数与微分的应用 .................................................. 6

3.1导数在函数中的应用 . .......................................... 6

3.1.1求函数极值和最值 ....................................... 6

3.1.2求函数的解析式 ......................................... 8

3.1.3判断函数的周期性，奇偶性 ............................... 9

3.1.4求曲线的切线 ........................................... 9

3.1.5导数的定义求极限 ...................................... 11

3.2导数解决不等式问题 . ......................................... 12

3.2.1构造辅助证明不等式 .................................... 12

3.2.2构造辅助求不等式参数的范围 ............................ 14

3.2.3微分中值定理解决不等式问题 ............................ 14

3.3 洛必达法则求未定式的极限 ................................... 16 03.3.1型不定式极限 . ........................................ 16 0

∞3.3.2型不定式极限 ........................................ 17 ∞

3.3.3其他类型不定式极限 .................................... 18

3.4微分在近似值中的应用 . ....................................... 19

3.4.1计算函数的近似值 ...................................... 19

3.4.2误差估计 .............................................. 20

3.5导数与微分证明恒等式 . ....................................... 20

3.6导数与微分探究方程根的存在性或唯一性 . ....................... 21

3.7导数与微分的综合应用 . ....................................... 23

3.7.1导数与微分的实际问题建模 .............................. 23

3.7.2导数在微观经济中的简单应用 ............................ 26

4小结 ............................................................. 27

参考文献 . .......................................................... 28

1 引言

导数与微分的知识和方法在数学的许多问题上，能起到以简驭繁的作用，尤其体现在判定函数相关性质，曲线的切线，证明不等式，恒等式，研究函数的变化形态及函数作图上. 导数是微分学中重要的基础知识, 是研究函数解析性质的重要手段，在求函数的极值, 最值方面起着“钥匙”的作用。通过大学的课程，我们对微观经济学一些概念，也有了一定的认识。由导数定义

f ' lim (x )=∆x →0f (x 0+∆x )-f (x 0)∆x 利用极限与无穷小量之间的关系，上式可写∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)=f ' (x 0)∆x +O(∆x ) 即函数在x 0处的改变量 y 课表示成两部分： x 的线性部分f ' (x 0)∆x 与∆x 的高阶无穷小部分O(∆x )。当 x 充分小时，函数的改变量可由第一部分近似代替∆y ≈f ' (x 0)∆x 而计算函数改变量的精确值，微分概念依赖于导数概念，但它具有独立的意义，它是函数的局部线性化. 在数学上最容易处理的函数是线性函数，借助微分可使一大批非线性函数转化为线性函数。一般来说是较繁琐、较困难的，但是计算它的近似值相对要容易些.

111∆s =g(t+∆t) 2-gt 2=gt(∆t) +g(∆t) 2 222

显然当∆t →0时，∆s 是无穷小量，其中第一部分gt (∆t )是同价无穷小，而第二12部分gt (∆t )是比∆t 高阶的无穷小量，且当∆t 很小时，它比第一部分要小得多，2

12所以可将第二部分gt (∆t )忽略掉，而用第一部分gt (∆t )近似地表示∆s ，即2

∆s ≈gt (∆t )。我们将第一部分gt (∆t )称∆s 为的主要部分，它是关于∆t 的线性函数，计算起来要简便些。

2 预备知识

导数它来源于求曲线在一点处的切线和运动物体在某时刻的瞬时速度。因而，导数的几何意义是切线斜率；

导数的几何意义：曲线在一点处切线的斜率.

导数的物理意义：瞬时速度. 一个变量对另一个变量的变化率..

导数的概念:设函数y =f (x ) 在点x 0的邻域内有定义，若极限

lim f (x ) -f (x 0) 存在则称函数f 在点x 0处可导并称该极限为函数f 在点x 0处的x -x 0x →x 0

导数，记作f '(x ) 令x =x 0+∆x ∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) 则

f ' (x )=lim f (x 0+∆x )-f (x 0) ∆y =lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x

微分的概念:引例：一片边长为x 0的正方形,

它的面积s =x 2其边长从x 0变化到x 0+∆x , 问此正方形的面积改变了多少？

2∆s =(x 0+∆x ) 2-x 0=2x 0∆x +∆x 2

定义1[1]：设函数y =f (x ) 在 U (x 0, r ) 内有定义，且x 0+∆x ∈U (x 0, r ) 如果函数的增量为

∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) 可表示为∆y =A ∆x +o (∆x ) , 则称函数y =f (x ) 在点x 0是可微的，A ∆x 称为函数y =f (x ) 在点x 0相应于自变量的增量∆x 的微分，记为d y ，即d y =A ∆x .

微分的几何意义:微分dy =f ' (x 0)(x -x 0)是曲线y =f (x ) 在点(x 0, f (x 0))的切线在点x 0的纵坐标改量, 如图。

极值定义：设f (x ) 在U(x 0, δ) 内有定义，若对任意x ∈u 0(x 0, δ)，恒有f (x ) f (x 0) ) ，则称f (x 0) 是f (x ) 的一个极大值（极小值），点x 0称为f (x ) 的一个极大值点（极小值点）。

函数的极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。函数导数为0的点称为驻点。驻点和不可导点称为极值的可疑点。

极值的充分条件：

定理[1]（第一充分条件）：设f (x ) 在U(x 0, δ) ) 内连续，在x ∈u 0(x 0, δ)内可导

0，则f (x 0) 为f (x ) 1)若x ∈(x 0-δ, x 0)， f '(x ) > 0，x ∈(x 0, x 0+δ)，f '(x )

的极大值.

2)若x ∈(x 0-δ, x 0)， f '(x ) 0，则f (x 0) 为f (x ) 的极小值.

3)若x ∈(x 0-δ, x 0)，f '(x ) 的符号保留不变，则f (x 0) 不是极值.

[1] 定理（极值的第二充分条件）：设f (x ) 在x 0具有二阶导数，且f ' (x 0) =0

1)若f '' (x 0)

2)若f '' (x 0) > 0，则f (x 0) 为f (x ) 的极小值.

3)若f '' (x 0) =0，则f (x 0) 可能是也可能不是极值.

导数求最值问题的方法：解这类实际问题需要先建立函数关系，再求极值点，确定最值点及最值。

设f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，求f (x ) 在[a, b ]上的最大值与最小值。

(1)求出f (x ) 在(a, b )内的极值也就是f ' (x ) =0时所对应的值

（2）将的极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的那个是最小值. 运用导数确定函数单调区间的一般步骤:

a 求出函数y =f (x )的导数f ' (x ) 。

b 在函数定义域内解求出f ' (x ) >0递增区间，求出f ' (x )

1罗尔定理[1] ：设f (x ) 满足：

1) 在闭区间 [a , b ]上连续。

2) 在开区间(a, b )内可导。

3) f (a ) =f (b )

则在(a, b )内至少存在一点ξ，使f ' (ξ) =0.

2拉格朗日中值定理[1]：设f (x ) 满足：

1) 在闭区间[a , b ]上连续。

2) 在开区间(a, b )内可导。

则在(a, b )内至少存在一点ξ，使f (b ) -f (a ) = f ' (ξ)(b -a ) (ξ∈(a, b )) 若记x =a ，x +∆x =b ，则拉格朗日中值定理的结论可写为：

f (x +∆x )-f (x )=f ' (ξ)∆x ξ 位于x 与x +∆x 之间。

若记ξ=x +ϑ∆x (0

∆y =f (x +θ∆x )∆x

常用的拉格朗日中值公式有下列形式：

①f ' (ξ)=f (b )-f (a ) （ξ介于a 与b 之间）； b -a

②f (b )-f (a )=f ' (ξ)(b -a ) （ξ介于a 与b 之间）；

③f (b )-f (a )=f ' (a +θ(b -a ))(b -a ) (0

④f (x +∆x )-f (x )=f ' (ξ)∆x （ξ介于x 与x +∆x 之间）；

⑤f (x +∆x )-f (x )=f ' (x +θ(x )∆x )∆x (0

⑥f (x +h )-f (x )=hf ' (x +θh ) (0

⑦f ' (ξ)=f (x 2)-f (x 1) （ξ介于x 1与x 2之间）。 x 2-x 1

3. 柯西定理[1] ：设f (x ) ，g (x ) 满足：

1)在闭区间[a , b ]上连续。

2）在开区间(a , b )内可导且g ' (x )=0。

则在(a , b )内至少存在一点ξ(ξ∈(a , b ))，使

4. 经济学中的边际与弹性

边际在经济学中，边际是变量y 关于变量x 在x 0附近（边缘上）的变化情

况，即x 在x 0附近有微小变化时，变量y 的变化。当x 的变化单位∆x 很小时，由

微分近似计算公式得，∆y |x =x 0≈dy =f '(x 0) ∆x |x =x 0=f '(x 0) ， ∆x =1∆x =1f (b ) -f (a ) f '(ξ) = g (b ) -g (a ) g '(ξ)

因此，边际值f '(x 0) 是当x =x 0，x 改变一个单位，y 改变了f '(x 0) 个单位。

弹性的概念及弹性理论无论在数理经济学的研究，还是在实际应用都会起到重要作用。在经济管理中，弹性对分析产品的需求、供给和收益，给决策者提供

有力可靠的理论依据起到了重要作用。

当自变量x 和因变量y 代表不同背景的实际问题时，其弹性E yx 的意义也不同。如x 代表某种商品的价格，y 代表顾客对该商品的需求量，那么E yx 表示当产品价格有1%的变化时，相应需求的变化为E yx %。由于需求函数一般是减函数，所以它的边际函数f '(x ) 小于零。因此需求价格弹性E yx 取负值，经济学中常规定需求价格弹性为 E yx =-f '(x ) x f (x )

这样，需求价格弹性便取正值。即便如此，经济学上在对需求价格弹性做经济意义的解释时，也应理解为需求量的变化与价格的变化是反方向的。

经济学中对需求价格弹性有下述规定：当某商品的需求价格弹性E DP >1，则称该商品的需求量对价格富有弹性；当某商品的需求价格弹性E DP

该商品的需求量对价格溃乏弹性；当E DP =1时，则称该商品具有单位弹性。

3导数与微分的应用

3.1导数在函数中的应用

3.1.1求函数极值和最值

1例1：求f (x )＝x 3－x ２－3x ＋１在[-2, 4]点的最大值与最小值 3

解：由f (x ) 在闭区间[-2, 4]上连续则f ' (x ) =x 2-2x -3

令f ' (x ) =0有x 2-2x -3=0即(x +1)(x -3)=0解得

x １=-1,x２=3 而f (x ) 在[-2, 4]内无导数不存的点

1817由f (-2)＝， f (-1) = f (3)=-5 f (14)=- 333

817所以：min =- max = 33

⎛21⎫

例2：已知f (x )=x 3+ax 2++x +1，a ∈R 设函数f (x ) 在区间 -, -⎪内是减函

⎝33⎭

数求a 的取值范围

解：f (x )=x 3+ax 2++x +1 则f ' (x )=3x 2+2ax +1

⎛21⎫

∵函数f (x ) 在区间 -, -⎪内是减函数

⎝33⎭

722⎛2⎫

∴f ' -⎪≤0即3×（-）2+2a ×（-）+1≤0 a≥

433⎝3⎭11⎛1⎫

f ' -⎪≤0 即3×（-）2+2a×(-)+1≤0 a≥2

33⎝3⎭综上可知a ≥2

(2) 若f '(-1) =0，例3：已知a 为实数，函数f (x ) =(x 2-4)(x -a ) . (1) 求导数f '(x ) ；

求f (x ) 在[-2, 2]上的最大值和最小值.

解：(1) 由原式得f (x ) =x 3-ax 2-4x +4a 则 f '(x ) =3x 2-2ax -4 (2) 由 f '(-1) =0 得a =

f '(x ) =3x 2-x -4

，此时 f (x ) =(x 2-4)(x -) 22

44509

或x =-1，又 f () =-f (-1) =, f (-2) =0, f (2) =0，33272

950

所以f (x ) 在[-2, 2]上的最大值为，最小值为-.

227

由 f '(x ) =0 得 x =

例4：已知函数f (x )=x 2+2x tan θ-1，x ∈[-1, ],其中θ∈(-的取值范围，使f (x )在区间[-1, 3]上是单调函数.

解：f '(x ) =2x +2tan θ，它在[-1, ]上是单调函数，

f '(x )m in =-2+2tan θ，f '(x )max =23+2tan θ，

ππ

, ) ，求θ

ππ

当-2+2tan θ≥0，即θ∈[, ) 时，

f ' (x )≥0，f (x )为单调递增函数；

当2+2tan θ≤0，即θ∈(-

, -]时， 23

f ' (x )≤0，故f (x )为单调递减函数；

ππππ

综上所述，当θ∈[, ) ⋃(-, -]时，f (x )在区间[-1, 3]上是单调函

4223数.

3.1.2求函数的解析式

例5[6]：设函数y =f (x ) 为三次函数，其图像与y 轴的交点为P ，且曲线在P 点

处的切线方程为24x +y -12=0，若函数在x =2处取得极值-16，求函数的解析式.

解：设f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0) ，则f '(x ) =3ax 2+2bx +c ，依题意有

f '(0) =c . 因为切线24x +y -12=0的斜率为k =-24，所以c =-24.

把x =0代入24x +y -12=0，得y =12.

所以P 点的坐标为(0, 12) ，即求得d =12，此时f (x ) =ax 3+bx 2-24x +12. 由函数f (x ) 在x =2处取得极值-16，

⎧a =1⎧-16=8a +4b -36

则得 ⎨，解得 ⎨，

b =30=12a +4b -24⎩⎩

所以 f (x ) =x 3+3x 2-24x +12

例6：设y =f (x ) 为三次函数，且图像关于原点对称，当x =值为，求函数f (x ) 的解析式.

解：设f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (d ≠0) ，因为其图像关于原点对称，即 f (-x ) =-f (x ) ，所以 ax 3+bx 2+cx +d =ax 3-bx 2+cx -d ，

则 b =0, d =0, 即 f (x ) =ax 3+cx ，所以 f '(x ) =3ax 2+c .

时，f (x ) 的极小2

1311c

依题意 f '() =a +c =0，f () =a +=-1，解得 a =4, c =-3, 故

24282f (x ) =4x 3-3x .

3.1.3判断函数的周期性，奇偶性

例7：若所给的偶函数可导，则其导函数是奇函数。

f (-x +∆x )-f (-x )

∆x →0∆x

f (x -∆x )-f (x ) ＝ lim ∆x →0∆x

f (x +(-∆x ))-f (x ) ＝lim =-f ' (x ) -∆x →0-∆x

证明：设f (x )为偶函数则f ' (-x )=lim

例8：周期函数若可导，则其导数仍为周期函数。证明：设f (x )为周期是T 的函数

f ' (x +T )=lim

f (x +T +∆X )-f (x +T )f (x +∆x )-f (x )=lim =f ' (x ) ∆x →0∆X ∆x

∆x →0

3.1.4求曲线的切线

运用导数的几何意义研究曲线在P （x 0 y0）处的切线方程和法线方程在求过点P (x 0, y 0) 所作函数y =f (x )对应曲线的切线方程时应先判断该点是否在曲线上.

(1) 当点P (x 0, y 0) 在曲线上，即点P (x 0, y 0) 为切点时，则切线方程为

y -y 0=f '(x 0)(x -x 0).

⎧y 1=f (x 1)

⎪

(2) 当点P (x 0, y 0) 不在曲线上时，则设切点坐标为(x ', y ')，由⎨y 0-y 1

'()f x =1⎪x 0-x 1⎩

先求得切点的坐标，然后进一步求切线方程.

例9：已知抛物线C 1:y =x 2+2x 和抛物线C 2:y =-x 2+a ，当a 取什么值时，C 1和C 2有且仅有一条公切线？写出公切线的方程.

分析：传统的处理方法来解决，但计算量大，容易出错，如能运用导数的几何意义去解，则思路清晰，解法简单.

解：设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)分别是直线l 与C 1、C 2的两个切点. 又C 1:y =x 2+2x ，C 2:y =-x 2+a 的导数分别为：

y '=2x +2，y '=-2x ，所以 2x 1+2=-x 2，即 x 1+x 2=-1

又C 1、C 2有且只有一条公切线，则点A 与点B 重合，x 1=x 2，

111⎛13⎫

所以x 1=x 2=-，即A -, -⎪，有点B 在C 2上，可知a =-，此时l :y =x -.

224⎝24⎭

例10：已知曲线C :y =x 3-3x 2+2x ，直线l :y =kx ，且l 与C 切与点

(x 0, y 0)(x 0≠0) ，求直线l 的方程及切点坐标.

解：由l 过原点，知k =

y 0

(x ≠0) ，点(x 0, y 0) 在曲线C 上，x 0

y 02

=x 0-3x 0+2 x 0

∴y 0=x 0-3x 0+2x 0∴

又∵y '=3x 2-6x +2∴k =3x 0-6x 0+2，又 k =∴3x 0-6x 0+2=x 0-3x 0+2∴2x 0-3x 0=0, x 0=

y 0

x 0

（x 0=0不符合题意） 2

3y 33331

∴y 0=() 3-3⨯() 2+2⨯=-∴k =0==-

x 042228

133

所以l 的方程为y =-x ，切点为(, -) .

284

例11：x 2+5xy +y 2+5=0在处切线的斜率。（1，-2）

解：2x +5(y +xy ' ) +2yy ' =0

(5x +2y )y ' =-5y -2x y ' =-

x =1y =-2

5y +2x

5x +2y

5⨯(-2)+25⨯1+2⨯-2=8

x 2y 2

=1的一个焦点(1,0)发出的任意光线，经过椭圆反射后，例12：从椭圆+

反射光必经过它的另一个焦点(-1,0)。

证明：假设(x 0, y 0)为椭圆上的任意一点当y 0=0时的结论显然成立设

y 0≠0，则过此点的切线斜率为tan θ=-

3x 0

y 0

，此连线与切线夹角的正切为 x 0+1

(x 0, y 0)与焦点(-1,0)的连线的斜率为tan θ1=

y 03x

x +14y 0tan θ1-tan θ3=0K==

1+tan θ1tan θ1-00y 0

x 0+14y 0

(x 0, y 0)与另一焦点(1,0)连线的斜率为tan θ2=

y 0

此连线与切线夹角的正切为x 0-1

3x 0y

-0

4y 0x 0-13x 0-123tan θ-tan θ2

==K ∴两个夹角的正切相等即两==

x 0y 0-4y 0y 01+tan θtan θ21-004y 0x 0-1

个夹角相等

3.1.5导数的定义求极限

导数的定义多题目中出现的形式灵活多样，较为简单的类型是直接用导数的定义是作适当的变形即能解决问题，导数是由极限定义，所以就能利用导数来求极限

x sin x -

例13

：lim

x →

x -

解：令f (x ) =x sin x ，由导数定义可得

x sin x lim

x →

=f '(π) =(sinx +x cos x ) |=2(1+π).

πx =2444x -

例14：f '(x 0) 存在，证明lim

h →0

f (x 0+mh ) -f (x 0+nh ) m -n

=f '(x 0) ，其中m , n , p 为

ph p

常数.

证明：左=lim

h →0

f (x 0+mh ) -f (x 0) +f (x 0) -f (x 0+nh )

=lim

[f (x 0+mh ) -f (x 0)]-[f (x 0+nh ) -f (x 0)]

h →0ph f (x 0+mh ) -f (x 0) n f (x 0+nh ) -f (x 0) m

lim -lim

mh →0nh →0p mh p nh n m -n m

f '(x 0) -f '(x 0) =f '(x 0) .

p p p

3.2导数解决不等式问题

3.2.1构造辅助证明不等式

利用数得出函数单调性来证明不等式，根据不等式的特点构造函数，用导数

证明函数得到单调性，从而达到证明不等式的目的。

x -x +1 21

证明：设g (x ) ＝e x -x 2+x -1

例15：x ＞0时求证e x >

g ' (x )=e x -x +1 g '' (x )=e x -1

＞g ' (0)=e 0-0+1=2＞0 当x ＞0时g '' (x )>0 g ' (x )单调递增 g(x)

∴g (x ) 也为单调递增函数 g (x ) ＞g (0)= e0-0-1=0 ∴e x >

x -x +1 2

例16：证明在(0,1)上成立 (1+x )ln 2(x +1)

证明：令f (x )=x 2-(1+x )ln 2(1+x ) f ' (x )=2x -ln 2(1+x )-2ln (1+x )

f '' (x )=2-2

ln (1+x )1+x

-2 1+x

＝

2⎡x -ln (1+x )⎤1+x

>0 x ∈(0,1)

f ' (0)=0可知f ' (x )>0 ∵f (0)=0得f (x )>0 ∴(1+x )ln 2(x +1)

例17：证明：当0＜x ＜

π2

时，有不等式x ＜sin x ＜x 2π

证明：令f (x )=x -sin x f ' (x )=1-cos x 当0＜x ＜

时 0＜cos x ＜1 ∴f ' (x )＞0 f (x )单调递增 2

f (x )＞f (0)=0 得证 sin x ＜x 为证明x ＜sin x

(sin x )x -sin x (x )=x cos x -sin x sin x

设g (x )= g ' (x )=

x x 2x 2

令t (x )=x cos x -sin x

t ' (x )=(x cos x )-(sin x )=cos x +x (-sin x )-cos x =-x sin x ＜0 t (x )为单调递减当0＜x ＜

π⎛π⎫

时 t ⎪＜t (x )＜t (0) ∴t (x )＜0 即t (x )=x cos x -sin x ＜0 2⎝2⎭

⎛π⎫⎛π⎫

从而g ' (x )＜0 ∴g (x )在x ∈ 0, ⎪上单调递减 g ⎪＜g (x )＜g (0)

⎝2⎭⎝2⎭

sin x =2 所以得证2x ＜sin x ＜x ＞

πx π2

例18：证明不等式x ∂≤1-∂+∂x （x >0, 0

证明：令f (x )=x ∂-∂x +∂-1

f ' (x )=∂x ∂-1-∂=∂(x ∂-1-1) 令f ' (x )=0得证唯一驻点x ＝１

sin

f ' (x )x =1=∂(∂-1)x ∂-2=∂(∂-1)＜0 ∴f (1)=0为极大值

从而是在点(0, +∞)内的最大值

∴x >0 f (x ) ≤f (1)＝0即x ∂≤1-∂+∂x 其中等号仅在x ＝１

时成立。

3.2.2构造辅助求不等式参数的范围

例19[4]：已知a ≥0，函数f (x ) =(x 2-2ax ) e x 在[-1, 1]上是单调函数，求a 的取值范围.

解：f '(x ) =[x 2+2(1-a ) x -2a ]e x ，由 f '(x ) =0，即 [x 2+2(1-a ) x -2a ]e x =0，解得 x 1, 2=a -1±+a 2(x 1

当a ≥0时， x 1

f (x ) 在(x 1, x 2) 上是减函数，在(x 2, +∞) 上是增函数，所以f (x ) 在[-1, 1]上是单调

函数的充要条件是x 2≥1, ，即 a -1++a 2≥1，解得 a ≥

. 所以a 的取值范围为[, +∞) 44

例20：求出a 的范围，使不等式x 4-4x 3>2-a 对任意的x 都成立.

分析: 将含参数的不等式问题转化为函数问题, 利用导数求得函数最小值, 方可确定出参数的范围.

解：令f (x ) =x 4-4x 3，则 f '(x ) =4x 3-12x 2，再设f '(x ) =0，可求得 x =0或x =3，

当x

当x >3时，f '(x )>0. 所以x =3时，f (x ) 取得极小值为-27，从而f (x ) 有最小值为-27，则f (x ) |m in =-27>2-a ，故有a >29. 解决本题的关键在于构造函数，通过导数判断函数极小值的位置. 3.2.3微分中值定理解决不等式问题例21：证明：当x >0时，成立不等式

111

证明; 令f (t ) =ln t ，则f (t ) 在[x , 1+x ](x >0) 上满足拉格朗日定理条件，从而有

f (1+x ) -f (x ) =f '(ξ)(1+x -x ) (0

即 ln(1+x ) -ln x =

因为0

11111

0) x +1x x

即

例22：设f (0) =0且在[0, +∞) 上f '(x ) 单调递减，证明对任意a >0，b >0，成立不等式 f (a +b )

证明 :不妨设0

f (a ) -f (0) =f '(ξ1)(a -0) ， f (a +b ) -f (b ) =f '(ξ2)(a +b -b ) 成立，从而有

f (a ) f (a +b ) -f (b )

=f '(ξ1) 所以ξ1又因为f '(x ) 单调递减，从而f '(ξ1) >f '(ξ2) ，于是

f (a +b ) -f (b ) f (a )

，

a a

再由a >0得f (a +b )

例23：设f (x ) 在[0, 1]上连续，在(0, 1) 内可导且f (0) =0，对任意x ∈(0, 1]有

f '(x ) ≤f (x ) ，则在[0, 1]上恒有f (x ) =0.

证明:在区间(0, 1]上任取一点x ，则f (x ) 在[0, x ]上满足拉格朗日定理条件，故存在ξ1∈(0, x ), 使f (x ) -f (0) =f '(ξ) x ,

所以 f (x ) =x f '(ξ1) =x f '(ξ1) ≤x f (ξ1) (0

又f (x ) 在[0, ξ1]上也满足拉格朗日定理条件，故

f (ξ1) -f (0) =f '(ξ2) ξ1 (0

f (x ) ≤x ξ1ξ2 ξn f (ξn +1) (0

n n

因为lim ξ1=0，且由f (x ) 在[0, 1]上连续知f (ξn +1) 有界，所以lim ξ1f (ξn +1) =0，

n →∞

由夹逼准则知f (x ) ≡0.

3.3 洛必达法则求未定式的极限

求未定式极限的洛必达法则是柯西中值定理的一个应用，它是求极限的一个

0∞重要方法，应注意只有“”型、“”型的极限才可以直接用洛必达法则，而

0∞

对“0⋅∞，∞-∞，00”型等其他未定式极限，必须通过通分、取对数等变形方

0∞

法将其转化为“”型或“”型后，才能使用洛必达法则。

0∞

3.3.1型不定式极限

型不定式极限 0

若函数f 和g 满足

（I ）lim

x →x 0

f (x )=lim g (x )=0

x →x 0

（II ）在点

x 0的某空心邻域U 0x 内两者都可导且g ' x ≠0

(0)()

f ' (x )g ' x =A 则lim

f (x )g x =lim

x →x 0

（III ）

x →x 0

lim

f ' (x )g ' x x →X 0

“”型不定式

e x -1

例24：lim

x →0x

e x -1e x

解：lim =lim =1

x →0x →01x

例25：lim

sin ax

x →0sin bx

解：lim

sin ax a cos ax a

=lim =

x →0sin bx x →0b cos bx b

x 3-12x +16

例26：lim 3

x →2x -2x 2-4x +8

x 3-12x +163x 2-126x 3

解:lim 3 =lim =lim =

x →2x -2x 2-4x +8x →23x 2-4x -4x →26x -42

例27:lim x →+∞

-arctan x 1

解 :x lim →+∞

-arctan x 1x

-=lim

x →+∞

1+x 2=lim x =1

x →+∞1+x 2-2x

3.3.2

∞

型不定式极限 ∞

若函数f 和g 满足

（I ）

x →x +0

lim f (x )=lim g (x )=∞ +

x →x

（II ）在

x 0的某右邻域U 0

f ' (x )g x '

(x 0)内两者到可导且g ' (x )≠0

f (x )

（III)

x →x +0

lim

=A 则lim +

x →X

g x =lim +

x →x

f ' (x )g x '

例28:lim

ln x

(α>0)

x →+∞x α

ln x =lim 1=0 =lim 解：x lim →+∞x αx →+∞αx α-1x →+∞αx α

x n

例29: lim x (n >0) 。

x →+∞e

x n n (n -1) x n -2nx n -1n !

解：lim x =lim x =lim = =lim x =0 x x →+∞e x →+∞x →+∞e x →+∞e e

3.3.3其他类型不定式极限

0∞

其他类型不定式极限，经过简单变换吧它们化成或型的极限

0∞1⎫⎛1-例30:lim ⎪ x →1ln x x -1⎭⎝

解：这是“∞-∞”型的极限，求解方法是通分或有理化因式将其化为“型或“

”0

0∞

”型极限后用洛必达法则。对本题，通分后化为“”型可两次使用

0∞

洛必达法则。

1⎫x -1-ln x ⎛1-=lim lim ⎪=lim

x →1ln x x →1x →1x -1x -1ln x x -1⎭⎝ln x +

x -111

=lim =lim =

x →1x ln x +x -1x →1ln x +1+12

sin x ln x 例31:lim +

x →0

这是“0⋅∞”型的极限，求这类极限的方法是将部分函数取倒数变形为 “

ln x x 型极限后用洛必达法则， lim +sin x ln x =lim + =lim +

x →0x →0csc x x →0-csc x cot x

-sin 2x x 2

=-lim +=0. =lim +

x →0x cos x x →0x cos x

例32:lim

x →+∞

∞”∞

⎛π⎫-arctan x ⎪⎝2⎭

ln x

v (x )

这是“0”型极限，利用对数性质有lim u (x )

x →+∞

lim v (x )ln u (x )

，问题归结

为求“0⋅∞”型极限。本题变形后为“

∞

”型极限，则 ∞

⎛π⎫lim -arctan x ⎪x →+∞2⎝⎭

ln x

⎡1⎛π⎫⎤=ex p ⎢lim ln -arctan x ⎪⎥

⎭⎦⎣x →+∞ln x ⎝2

⎧⎡⎤⎫⎪⎢-11⎥⎪⎪⎪

÷⎥⎬ =exp ⎨lim ⎢

x →+∞⎛πx ⎥⎪⎫2⎢⎪-arctan x 1+x )⎥⎪ ⎪(⎢⎪2⎝⎭⎣⎦⎭⎩

⎧⎡x 0⎛π⎫⎤⎫

÷-arctan x =exp ⎨-lim ⎢（“⎬ ⎪⎥2

0⎭⎦⎭⎩x →+∞⎣1+x ⎝2

⎧⎡⎤⎫22

1+x -2x -1⎪ =exp ⎨-lim ⎢ ⎥⎪÷2⎬x →+∞⎢221+x ⎥⎪⎪⎣(1+x )⎦⎭⎩

”

⎛1-x 2

=exp 2 x lim

⎝→+∞1+x ⎫-1⎪=e ⎪⎭

3.4微分在近似值中的应用

在工程问题中，常会遇到一些复杂的计算公式，如果直接用这些公式进行计算，往往会费时费力而利用微分则可把一些复杂性的计算公式用简单的近似公式来代替

3.4.1计算函数的近似值

f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y

由极=lim

∆x →o ∆x ∆x →0∆x ∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0)

≈f '(x 0) ，所以=限的定义知，当∆x 充分小时，

∆x ∆x

函数y =f (x ) 在x =x 0处的导数f '(x 0) =lim

f (x 0+∆x ) ≈f (x 0) +f '(x 0) ⋅∆x ，利用这个公式可求的函数的近似值.

例33.：计算(1.04)

2.02

的近似值

解：设函数.f (x , y )=x y 显然, 要计算的值就是函数在x =1.04,y=2.02, 时的函数值 f (1.04, 2.02)取, x =1, y =2,∆x =0.04, ∆y =0.02 由于,

f (x +∆x , y +∆y )≈f (x , y )+f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y

x y +yx y -1∆x +x y ln x ∆y

(1.04)

2.02

≈12+2⨯12-1⨯0.04+12⨯ln1⨯0.02=1.08

例34：不查表，求sin 46︒的值.

解：令y =sin x ，由导数和微分的关系得

sin x ≈sin x 0+(cosx 0) ⋅(x -x 0) ，

πππππ

因 46︒=45︒+1︒=(+， ) rad ，取x 0=，x =+

441804180于是 x -x 0= =

3.4.2. 误差估计

若精确度值为A ，近似值为A, 近似值为a, 那么A -a 称为绝对误差，称为相对误差。

例35：测量直径为4m 的球时有1%的相对误差，利用公式V=时，相对误差有多大？

解：绝对误差：δd =4×1%=4%

绝对误差 δv ＝πd 2. d . 1%

＝π×64%=32π%

2δv 32π%

相对误差＝＝3%

1v π. 646

，代入上式得 sin 46︒=+ ) =sin +(cos) ⋅[1**********]0

ππππππ

22π

. +⋅=0. 707+10. 0123=0. 7194

22180

A -a a

d 3计算球的体积

答：相对误差是3%

3.5导数与微分证明恒等式

12x π

例36：证明：当x >1时，arctan x -arccos =. 2

21+x 412x π

分析令f (x ) =arctan x -arccos -. 当x >1时只要f '(x ) =0，便有2

21+x 4f (x ) =C . 注意到f (1) =0且lim +f (x ) =f (1) ，所以有C =lim +f (x ) =f (1) =0.

x →1

12x π

证明：令f (x ) =arctan x -arccos -. 当x >1时有 2

21+x 4

f '(x ) =

-1+x 22

-12x

() ' 21+x 2x 2

-() 2

1+x

111+x 22(1+x 2) -4x 2

+⋅ = 1+x 22(1+x 2) 2-4x 2(1+x 2) 2

1x 2-111-x 2

+=-2=0， =2222221+x (x -1)(x +1) (1-x ) (1+x ) 1+x

所以f (x ) =C . 因为f (x ) 在x ≥1时连续，从而

12x π

C =lim +f (x ) =lim +[arctanx -arccos -]=0 2

x →1x →121+x 4

12x π

故f (x ) =C 即arctan x -arccos =. 2

21+x 4

3.6导数与微分探究方程根的存在性或唯一性

例37：若a >3，则方程x 3-ax 2+1=0在[0, 2]上有多少个根？

解：设f (x ) =x 3-ax 2+1，则f '(x ) =3x 2-2ax ，

当a >0，x ∈(0, 2) 时，f '(x )

而f (x ) 在x =0与x =2处都连续，且f (0) =1>0, f (2) =9-4a

例38：a 取何值时, 关于x 的方程x 2+ax +2=0在(0, 1]上有解？

分析：本题亦可结合二次函数f (x ) =x 2+ax +2的图象, 使得问题转化为区间根分布问题, 但是要分在(0, 1]上有两解和一解两

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