重心三角形的性质证明_证明

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三角形的重心定理及其证明

积石中学王有华

同学们在学习几何时，常常用到三角形的重心定理.但很多同学不会证明这个定理？下面给出三种证明方法，你阅读后想一想，哪一种证明方法最好.已知：（如图）设ABC中，L、M、N分

别是BC、CA、AB的中点.求证：AL、BM、CN相交于一点G，且

AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕1.BC证明1（平面几何法）：（如图1）假设中

线AL与BM交于G，而且假设C与G的连线与AB边交于N，首先来证明N是AB的中点.现在，延长GL，并在延长线上取点D，使GL=LD。因为四边形BDCG的对角线互相平分，所以BDCG是平行四边形.从而，BG∥DC，即GM∥DC.但M是AC的中点，因此，G是AD的中点.另一方面，GC∥BD，即NG∥BD.但G是AD的中点，因此N是AB的中点.另外，G是AD的中点，因此AG﹕GL=2﹕1.同理可证：BG﹕GM=2﹕1，CG﹕GN=2﹕1.这个点G被叫做ABC的重心.证明2（向量法）：（如图2）在ABC中，设AB边上的中

1线为CN，AC边上的中线为BM，其交点为G，边BC的中点为L，连接AG和GL，因为B、G、M三点共线，且M是AC的中点，

所以向量BG∥BM，所以，存在实数

BG1BM，即 AGAB1(AMAB)



所以，AG1AM(11)AB，使得



=1AC(11)AB

同理，因为C、G、N三点共线，且N是AB的中点.所



以存在实数2，使得 AG2AN(12)AC

1= 2AB(12)AC

21所以1AC(11)AB = 2AB(12)AC 22



又因为AB、AC 不共线，所以 

121

2112



21

1

因为L是BC的中点，所以GLGAACCL

211111

=(ABAC)ACCB =ABAC(ABAC)

332332

11

所以 12，所以 AGABAC.33

311

=ABAC，即AG2GL66，所以A、G、L三点共线.故AL、BM、CN相交于一点G，且AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕

1证明3（向量法）（如图3）在ABC中，BC的中点L

1

对应于OL(OBOC)，中线AL上的任意一点G，有



OGOA(1)OL

11OA2OB

2OC.同理，AB的中线

CN上的任意点

G′，OGOC112A

OB，求中线AL和CN的交点，就是要找一个和一个，使

OGOG.因此，我们令

1

1112，，

.解之

得1

3.所以OGOG111

3OA3OB

3OC.由对称性可知，第三条中线也经过点G.故AL、CN、BM相交于一点G，且易证AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕1.

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