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根的存在性定理：如果f(x)在闭区间[a,b]上连续
f(a)f(b)0,则存在（a,b）使得f()0。
证明利用构造法的思想，将f(x)的零点范围逐步缩小。先将[a,b]二ababab],[,b]，如果f()0。则定理获证。如果222
ababf()0，)异号，则f(a)和f(b)中必然有一个与f(记这个小区间22
ba为[a1,b1],它满足f(a1)f(b1)0且区间的长度b1-a1。又将[a1,b1]二等2等分为[a,分，考虑中点的函数值，要么为零，要么不为零。如果中点的函数值为零，则定理获证。如果中点的函数值不为零，那么必然可以选出一个小区间，使得f(x)在这个区间的端点值异号，记这个小区间为
[a2,b2]，它满足[a,b][a1,b1][a2,b2]，b2a2ba且f(b2)f(a2)0。采22
用这样的方法一直进行下去，或者到有限步时，某个区间的中点的函数值为零，这样定理的结论成立。或者所有区间的中点的函数值不为零，那么我们就会得到一个无穷的区间序列{[an,bn]}，它满足:①
[a,b][a1,b1][a2,b2]；②bnanba；③f(bn)f(an)0。2n
anlimbn[a,b]，如果f()0，由单调有界定理，可以得到limnn
则定理获证。如果f()0，因为f(x)在点连续，因而由连续函数的局部保号性：存在一个0，使得f(x)在(,)[a,b]上与f()同号。根据所构造的区间的性质②，存在正整数N，当n>N时，[an,bn](,)[a,b]。根据区间的性质③，f(bn)f(an)0，矛盾。
综上所述，只有f()0，且[a,b]。定理获证。
注：上面采用的证明方法是非常有用的二分法，其思想可以广泛的应用于各个领域，而an,bn实际上是函数零点的近似值。