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第一篇：零点存在定理的教案
教案
课题：零点存在定理 授课人：
一、内容及内容解析：
本章位于全书的第3章，零点主要是解决方程求解的问题，应用函数思想的方法，把方程与函数相结合，它在较难方程的求根方面有巨大的贡献，而零点存在定理能确定零点的存在范围，从而近似的确定零点的值，也即方程的近似根.各个内容之间的联系：
方程的根零点零点存在定理
二分法 二、三维目标：
知识与技能:会使用零点存在定理解决问题，准确确定根的范围，并且使用二分法找到相应方程的近似解.过程与方法:通过分析零点附近的值的关系，得到f(a)f(b)0的特点，并且通过辨析引出定理,得到定理后，还要针对定理中的每一项进行辨析，得知定理中的每一项必不可少.通过定理我们知道了零点存在的区间，为了得到零点的值我们又引入了二分法，从而能近似的求解出零点.情感态度价值观:让学生了解到每一点数学知识都是环环相扣的,并初步体会到函数思想的巧妙转化,感受到方程与函数的联系,并且得出另一种解方程的方法,让学生体会到数学教学的巧妙之处和知识与知识的紧密联系.三、教学难点与重点：
[难点] 二分法的使用及对定理的理解.[重点] 定理的使用及求解方程的近似根.四、设计教学
上节课我们学习了零点的定义，所以我们知道了如果画出了函数图像，我们就能知道函数是不是有零点，那么如果有些方程的相应函数我们不会画图像怎么办？我们还能知道函数有没有零点吗？通过今天的学习，我们就可以不画图像直接知道函数是否有零点.1、引入定理
通过之前的例题，我们知道函数的零点可能有若干个，为了使问题简化，我们首先考虑函数只有一个零点的情况.请大家思考：若函数y=f(x)是连续不断的函数，且有一个零点，则函数零点两端的函数值有何特征？
因为函数只有一个零点，所以函数图象与x轴只有一个交点。那函数图象与x轴会有哪些位置关系呢？不难想到（无非是两种情况）：一种为函数图象不穿
过x轴；另一种是函数图象穿过x轴。
（1）大家先看第一种情况，函数零点附近函数值有何特征呢？（同学回答）
这种情况下，零点附近函数值同号。那我在零点两端各选一个代表a，b，则它们对应的函数值f(a)、f(b)的乘积大于0；
（2）我们再看另一种情况，此时零点附近函数值有何特征呢？
（图像在PPT上显示动画过程，让学生观察出图像穿过x轴的过程，然后知道零点附近的值相反.）
无论怎么穿过，都有零点左右函数值异号，同样，我在零点两端各选一个代表a，b，则它们对应的函数值f(a)、f(b)的乘积就小于0.【分析】
（1）如果函数的图象是连续不断的一条曲线，满足f(a)f(b)>0，那么函数在区间（a，b）内一定有零点吗？
①（不一定）那好，你能给大家举一个反例吗？
②（一定）好，你先请坐。其他同学有不同意见么？ 如果函数有零点，说明函数图象一定与x轴有交点。条件告诉我们f(a)f(b)>0，那我不妨设f(a)、f(b)同时为正，大家请看，通过这两个点的函数图象一定能与x轴有交点么？
显然是不一定的，比如我举的这个反例。
这就说明满足这样条件的函数，不能确定 函数一定有零点。
（2）如果函数的图象是连续不断的一条曲线，满足f(a)f(b)
①（一定）好，那其他同学呢？都同意他的观点吗？ ②（不一定）你能为大家说明一下你的理由么？
由于函数的图象是连续不断的，并且端点函数值异号，所以无论怎么画，函数图象一定会与x轴有交点，从而说明函数怎么样？——一定有零点！
这样，我们就得到了判断函数是否有零点的方法，即函数零点存在性定理：
2、零点存在定理
若函数y=f（x）的图象在区间[a,b]上是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)
现在我有一个问题：若函数满足在[a,b]上有f(a)f(b)
如果可以请说明理由，不能的话请同学们举个反例.在这个反例中，f(a)0，f(0)=0.5
我们来看，这个定理是我们通过结合函数图象探究而得的，而至于它的严格证明，需要到大学阶段再去研究。
这样，我们通过引入函数的零点，将方程与函数建立起了联系，并且为我们提供了一种新的解决方程问题的途径。此前我们学习过的一元一次方程以及一元二次方程都有公式解，但是对于高次方程、超越方程等其他形式的方程而言，通常没有求根公式。而通过函数零点存在性定理，就可以去研究这样一般形式方程根的问题了。
【例】求函数f(x)lnx2x6的零点个数.【解析】因为f(2)0,f(3)0,所以在(2,3)之间有零点，又因为函数f(x)在(0,)上是单调递增的，所以这个函数只有一个零点.根据零点存在定理，我们知道函数是否有零点，但是如果我们想知道零点的值怎么办呢？接下来，我们要学习一个新的求根方法-----二分法.3、二分法（求根的近似值）
我们就以上面的例子来研究，即如何求f(x)lnx2x6的零点呢？ 一个最直观的想法就是：如果我们把零点存在的范围(2,3)尽量缩小，那么在一定的精确范围内，我们就可以得到零点的近似值.那我们如何缩小范围呢？显然最简单、最可行的方法就是“取中点”.接下来，我们解答上面的例子来看看二分法是如何运用的.【解析】应用零点存在定理，我们知道了f(x)lnx2x6在(2,3)之间有一个零点.接下来我们要用“取中点”的方法缩小零点存在的范围.取(2,3)的中点2.5，用计算器计算f(2.5)0.0840，而f(3)0，那么f(2.5)f(3)0，所以在(2.5,3)之间有零点，即缩小了零点所在的范围.再取区间(2.5,3)的中点2.75，用计算器计算f(2.75)0.5120，而f(2.5)0，即：f(2.5)f(2.75)0，所以在(2.5,2.75)之间有零点.我们可以看出零点存在的范围越来越小了，如果一直取下去，零点存在的范围会越来越小，这样，在一定的精确度下，我们就可以在有限次重复步骤之后，将所得的零点存在的区间内任意一点作为函数零点的近似值.我们把上面例题缩小区间的过程画在表格中：
如果当精确度为0.01时，由于|2.5390625-2.53125|=0.0078125
1、确定区间[a,b]，验证f(a)f(b)0，给定精确度；
2、求区间(a,b)的中点x1；
3、计算f(x1)的值；
（1）若f(x1)0,则x1就是函数的零点；
（2）若f(a)f(x1)0,则令bx1,此时零点x0(a,x1)；
（3）若f(x1)f(b)0,则令ax1,此时零点x0(x1,b).4、判断是否达到精确度：即若|ab|，则零点的近似值是a(或b）；否
则重复2-4步.【课堂练习】
1、借助计算器，用二分法求方程x3lgx在区间（2,3）的近似解（精确到.0.01）
2、借助计算器，用二分法求函数f(x)lnx到0.1）
【作业】
2在区间（2,3）内的零点.（精确xP108，1、3、4、6和P109，3、4.
第二篇：案例零点定理的教学设计
过程与方法是这样体现的！
一、开放的情境更易于引导学生做数学
根据高中学生的认知水平，开发利用教材的探索性内涵，创造性地使用教材，设计了能启发学生思维的“温度连续变化”情境，引导学生得出本节课的重要结论：零点附近两侧的图象特征及代数特征（函数值异号）。这一片段的课堂教学实录如下：
问题1 图1是某地从0点到12点的气温变化图，假设气温是连续变化的，请将图形补充成完整的函数图象。这段时间内，是否一定有某时刻的气温为0度？为什么？
师：在补充图象的时候请考虑：图象与x轴是否一定相交。师：有哪位同学得到与x轴不相交的图象吗？（所有同学都摇头表示不能画出）师：困难在哪？为什么画不出？
生丁：因为气温的变化连续不断，而且有两个已知的温度是一正一负。师：很好，因为这两个原因使得图象与x轴一定相交。那么，交点可能会在哪儿？
生众：0到12之间。
师：气温变化图其实也是一个函数的图象，它与x轴的交点就是函数的零点，这样我们已经发现了函数存在零点的一种判断方法。
师：函数存在零点的关键是什么？
生众：函数图象是连续不断的；一个点在x轴下方，一个点在x轴上方。
从上述过程可见，通过 “问答”式这种形式引导学生进行探究，实践证明效果较好。但对高中学生来说，数学学习是一个充满价值判断的过程，最有效的是有引导又不受干扰的思考，属于学生自己的独立思考。美国数学家哈尔莫斯指出：“学习数学的唯一方法是做数学”，我们认为：让学生以研究者的身份通过动手做来解决这一问题，先做后说，也许效果会更好。鉴于此，我们对这一教学片段重新进行了设计，把如下的修改问题作为学生深度思考的一个源题：
问题2 图1是某地从0点到12点的气温变化图，假设气温是连续变化的，请用二种不同的方法将图形补充成完整的函数图象。这段时间内，是否一定有某时刻的气温为0度？为什么？
在课外活动中将印有这个题目的纸张发给学生，要求学生通过研究设计出二种不同的连结方法。
上述的图形连接问题起点低，直观性强，简单而内涵丰富，且结论开放，符合高中学生喜欢动手的特点，适合不同层次学生进行探究。并在动态生成中很自然地“更新”了学习方式：让学生从“听”数学的学习方式，改变成在教师的指导下“做”数学，研究数学。
二、“预设”与“生成”结合的课堂更精彩
原问题给学生一个图，学生会用最方便直接的方法进行连接（一条直线段），在转换了情境问题后，一次就给学生二个相同的图形，要求进行不同的连接，设计第二个图的连接有的学生会面临困难，教师适时提示：“请大家再试着画画看”，“独立思考几分钟”，以更好地激发学生的探究欲，在尝试画图和反复的思索中，—种、两种、三种„„没有预设的连接方法接踵而至，学生在画图过程中，不拘一格大胆思考，使课堂出现“生成”的精彩。学生是聪明的，无穷的遐想和个性化理解给不同的学生带来了不同的收获（下面仅列举一部分成果，课堂上用实物投影展示）。
1．让学生在表述结果中进行数学交流
教师先从连接线的几何和数量特性着手，引领学生进行课堂交流。学生画出的图形是五花八门的：
(1)用线段连接（如图2、3等）。
(2)用曲线段连接，学生给出了很多连接方法，如图4、5、6、7等都是学生给出的。
学生画出的图形为课堂教学提供了丰富的资源，其中包括在区间(a，b)内有单一零点的函数是单调的、不单调的、有多个交点的等。而且也还有因为没有注意到条件要求而画错的图形（如图5），这有利于纠正部分学生对函数概念理解的偏差。
实践证明，每一个学生都希望自己是一个发现者、研究者和探索者。学生从这一问题的研究出发，放飞想象，上述这道教师眼里简单的画图题，仅仅在几分钟里，学生通过观察、猜想、尝试，就探索出了这么多种不同的画法，有助于加深对本节课所学知识的理解，为后续学习积累大量的素材，逐步学会思考。
2．课堂研究中的动态生成是灵动的教学资源
构建动态生成的课堂必须把学生置于教学的出发点和核心地位，让学生充分地开展自主学习，课堂才能焕发出勃勃生机，呈现出一道优美、流动的风景线，才能使课堂真正为学生的发展服务。在课堂上要及时合理地捕捉学生研究得到的动态生成，让它多一些真实的美丽，多一些有效的精彩。
（1）学生画出的图形，蕴含着丰富的教学资源。从图象与x轴交点（即零点）的个数看，可以构造出任意有限个零点的连接图。那么，是否存在有无限个零点的连接图？有的学生经过思考后提出：将线段设置为与x轴重合，如图8，其图象是不间断的，显然该函数的零点为一个区间，有无限多个。
给学生几分钟的思考时间，给学生“灵机一动”、“茅塞顿开”的机会，就可能出现“柳暗花明”“出人意料”的结果，进而极大地激发学生的探究欲望，并充分享受发现的喜悦。
（2）从这些图形零点附近图象的代数特征看，可分成四种情形：函数值异号（+－；－+）；函数值同号（++；－－），这样可把学生引向本节课的重要结论的研究。
（3）前面学生研究出的连接图，还可用来协助解决二节观摩课中提出的一系列问题，加深学生对本课内容的理解，如：
问题1 若问题2 若，函数，函数
在区间在区间
上一定没有零点吗？ 上只有一个零点吗？ 内有且只有一个零点？ 问题3 能否增加条件，使得函数在区间是否一定有f(a)f(b)
师：所以零点存在性定理可以判断当条件满足时，函数在区间内一定有零点，但不能确定零点的个数。
师：能否增加条件，使得函数在区间生众：单调性。
师：具体说，可以增加这样的条件：函数在区间这里我们利用图7就能回答这几个问题。
这样的生成，让平淡的课堂变得趣味无穷，让平常的课堂情节变得迭宕起伏，不仅将学生在画图过程中动态生成的信息转化为有效的教学资源，并在动态中促
内为单调函数。
内有且只有一个零点？ 使学习内容不断生成，知识不断建构并得到内化，使数学教学成为激情与智慧综合的生成过程的课堂教学。
古今中外凡有重大成就的人，在其攀登科学高峰的征途中，都会给思考留有一定时间。据说爱因斯坦狭义相对论的建立，经过了“十年的沉思”。他说：“学习知识要善于思考、思考、再思考，我就是靠这个学习方法成为科学家的。”许多教师在课堂教学中，由于没有抓住教学内容的核心，往往堆积了大量细枝末节问题，教师讲得多，给学生思考的时间少，甚至不给学生思考机会，导致学生思维能力得不到培养。因此，教学设计时应给学生预留更多的思考时间和空间。学习的效果最终取决于学生是否真正参与到学习活动中，是否积极主动地思考。如果学生能学会思考和研究，这比什么目标都有意义。
（浙江省衢州市教研室 李世杰）
（摘录自人民教育出版社网站：精彩的生成来自学生的自主研究）