全等三角形判定的证明(合集)

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第一篇：角形全等的证明专题

戴雨静数学专题辅导资料2010年7月16日星期五星海学校

三角形全等的证明专题

线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？

（1）条件充足时直接应用

在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找

A两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．

例1 已知：如图1，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O，且AO平分∠BAC．

ED那么图中全等的三角形有___对．

O

BC

（2）条件不足，会增加条件用判别方法

此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步 分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．

例2 如图2，已知AB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，B还需添加的条件是（只需填一个）_____．

D

A

EC

（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法

在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加 辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用 全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．

例3 已知：如图3，AB=AC，∠1=∠2． 求证：AO平分∠BAC．

分析：要证AO平分∠BAC，即证∠BAO=∠BCO，要证∠BAO=∠BCO，只需证∠BAO和∠BCO所在的两

个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO即可．

A

1O

2BC

C

D

（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，E一般需要作辅助线来构造全等三角形．

例4 已知：如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，BAF

AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，交AB于F，连接DF．

求证：∠ADC=∠BDF． G

说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．

（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法

新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力﹒在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视．

例5要在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件

限制，无法直接度量A，B两点间的距离﹒请你用学过的数

学知识按以下要求设计一测量方案﹒

(1)画出测量图案﹒

(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）﹒图

5(3)计算A、B的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）﹒

分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1)题，测量图案如图5所示．第(2)题，测量步骤：先在陆地上找到一点O，在AO的延长线上取一点C，并测得OC=OA，在BO的延长线上取一点D，并测得OD=OB，这时测得CD的长为a，则AB的长就是a．第(3)题易证△AOB≌△COD，所以AB=CD，测得CD的长即可得AB的长．

解：(1)如图6示．

(2)在陆地上找到可以直接到达A、B的一点O，在AO的延长线上取一点C，并测得OC＝OA，在BO的AB延长线上取一点D，并测

得OD＝OB，这时测出CD的长为a，则AB的长就是a．

(3)理由：由测法可得OC=OA，OD=OB．

O又∠COD=∠AOB，∴△COD≌△AOB．

∴CD=AB=a． CD

（注意书写格式和书写过程，一定要严谨！）

图6

评注：本题的背景是学生熟悉的，提供了一个学生动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力，培养了

学生用数学的意识﹒

练习

1．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE=FE．A

D求证：AE=CE．E F

BC

2．如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在AE上，已知∠ABD=∠ACD，∠BDE=∠CDE．

A求证：BD=CD．

D

BCE

3．用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种方法：如图所示，先在∠AOB的两边上取OP=OQ，A再取PM=QN，连接PN、QM，得交点C，则射线OC

平分∠AOB．你能说明道理吗？M

PC

OQNB

4．如图，△ABC中，AB=AC，过点A作GE∥BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G．试在图10中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．

P A

GE

FH

ACDBBC

5．已知：如图，点C、D在线段AB上，PC=PD．请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证A明．所添条件为__________，你得到的一对全等三角形是△_____≌△_____．

7．如图，在△ABD和△ACD中，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABD≌△ACD．

BC

8．如图14，直线AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC．求证：CO=DO．DCD

O

BA

9．已知△ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G．求证：EG=GF．A

E C BG FA10．已知：如图16，AB=AE，BC=ED，点F是CD的中点，AF⊥CD．求证：∠B=∠E．

B

E

CFD

11．如图17，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，那么

最省事的办法是（）﹒

(A)带①和②去(B)带①去(C)带②去(D)带③去

12．有一专用三角形模具，损坏后，只剩下如图中的阴影部分，你对图中做哪些数据度量后，就可以重新制作一块与原模具完全

一样的模具，并说明其中的道理．

全等三角形证明题

全等证明

《全等三角形的判定》教案

全等三角形判定教学设计

三角形证明（共20篇）

第二篇：证明三角形全等

全等三角形问题中常见的辅助线的作法

一、倍长中线（线段）造全等

例

2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.例

3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.A

二、截长补短

1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC

E

F

B

D

C

2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD求证;AB＝AC+BD

A

3、如图，已知在ABC内，BAC60，C400，P，Q分别 在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。

C

A

BDEC

B

应用：

1、（09崇文二模）以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BADCAE90,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及

求证：BQ+AQ=AB+BP

数量关系．

（1）如图① 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；

（2）将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0



C

4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，求证： AC180

C

5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

A

四、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平

应用：

分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

B

B

C

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.A

（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.B

G

C

F

D

三、平移变换

例1 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为PA，△EBC周长记为PB.求证PB＞PA.应用：

1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.A

图①

B

M

P N

图②

D C

D

BDE

C

图③

C

五、旋转

例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.例2 D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。(1)当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。(2)若AB=2，求四边形DECF的面积。

3、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且



当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MDN60,BDC120,BD=DC.探究：

MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．

A

D

F

B

E

C

A

例3 如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为；

2、（西城09年一模）已知以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;

(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.图1图2图

3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是； 此时

QL

；

（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=（用

． x、L表示）

B

C

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