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第一篇：讨论二元函数连续性_偏导存在性及可微性间的关系
第23卷哈尔滨师范大学自然科学学报 Vol.23,No.22007 第2期
NAT URAL SC I E NCES JOURNAL OF HARB I N NOR MAL UN I V ERSI TY 讨论二元函数连续性、偏导存在性 及可微性间的关系 张 鸿
(哈尔滨师范大学阿城学院
门艳红
(青岛飞洋职业技术学院
【摘要】 通过具体实例对二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系进行
讨论.关键词:连续性;偏导存在性;可微性 收稿日期:2006-11-08 0 引言
多元函数是一元函数的推广,因此它保留着一元函数的许多性质,但也有某些差异,这些差异
主要是由于多元函数的“多元”(即自变量由一个增加到多个而产生的.对于多元函数我们着重讨论二元函数,在掌握了二元函数的有关理论与研究方法之后,再将它推广到一般的多元函数中去.本文将通过具体实例来讨论二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系.1 二元函数连续性与偏导存在性间 的关系
1.1 函数f(x,y 在点P 0(x 0,y 0连续,但偏 导不一定存在.例1 证明函数f(x,y =x 2 +y 2 在点(0, 0连续偏导存在.证明 因为 li m(x,y →(0,0 f(x,y = li m(x,y →(0,0 x 2 +y 2
=0=f(0,0 故函数f(x,y =x 2+y 2 在点(0,0连续.由偏导数定义: f x(0,0=li m Δx →x f(0+Δx,0-f(0,0 Δx = li m Δx →x Δx 2
Δx = 1,Δx >0,-1,Δx
(0,0处f x(0,0,f y(0,0存在,但不连续.证明 由偏导数定义: f x(0,0=li m Δx →x f(0+Δx,0-f(0,0 Δx
=li m Δx →x Δx =0，同理可求得f y(0,0=0.因为li m(x,y →(0,0 f(x,y = li m(x,y →(0,0(x 2+y 2 =0≠f(0,0=1 故函数f(x,y = x 2 +y 2 ,xy =0 1,xy ≠0 在点(0,0处 不连续.综上可见,二元的连续性与偏导存在性间不存在必然的联系.2 二元函数的可微性与偏导存在性间的关系 2.1 可微与偏导存在
定理1(可微的必要条件 若二元函数f(x, y在其定义域内一点P0(x0,y0处可微,则f在该点关于每个自变量的偏导都存在,且d f|(x0,y0 = f x(x0,y0d x+f y(x0,y0d y.注1:定理1的逆命题不成立,即二元函数f(x,y在点P0(x0,y0处的偏导即使存在,也不一定可微.例
3f(x,y= xy x2+y2 ,x2+y2≠0, 0,x2+y2=0 在原点两个偏导存在,但不可微.证明 由偏导数定义: f x(0,0=li m Δx→x f(0+Δx,0-f(0,0 Δx =li m Δx→x 0-0 Δx= 0, 同理可求得f y(0,0=0.下面利用可微的定义来证明其不可微,用反证法.若函数f在原点可微,则Δf-d f=[f(0+ Δx,0+Δy-f(0,0]-[f x(0,0d x+f y(0, 0d y]= ΔxΔy
Δx2+Δy2 ,应是较ρ=Δx2+Δy2的 高阶无穷小量,为此考察极限 li m ρ→0Δf-d f ρ= li m ρ→0 ΔxΔy Δx2+Δy2
当动点(x,y沿直线y=m x趋于(0,0时,则 li m(x,y→(0,0 xy x2+y2 =li m(x,y→(0,0 y=m x m 1+m2 = m
1+m2 这一结果说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时,对应的极限值也不同,因此所讨论的极限不存在.故函数f在原点不可微.2.2 偏导连续与可微
定理2(可微的充分条件 若二元函数z=f(x,y的偏导在点P0(x0,y0的某邻域内存在, 且f x 与f y 在点P(x ,y0处连续,则函数f(x,y 在点P(x ,y0可微.注2:偏导连续是函数可微的充分而非必要条件.例4 证明函数 f(x,y=
(x2+y2sin 1 x2+y2 ,x2+y2≠0
0, x2+y2=0 在点(0,0处可微,但f x(x,y,f y(x,y在(0,0点却间断.证明 Π(x,y:x2+y2≠0,有 f x(x,y=2x sin 1 x2+y22y x2+y2 cos 1 x2+y2(1当y=x时,极限li m x→0 f x(x,x=li m x→0(2x sin 1 2x2-1 x
cos 1 2x2 不存在,则f x(x,y在(0,0点间 断.同理可证f y(x,y在(0,0点间断.(2因f x(0,0=li m x→0 f(x,0-f(0,0 x =li m x→0 x sin 1 x2 =0, f y(0,0=li m x→0
f(0,y-f(0,0 y =li m y→0 y sin 1 y2 =0 则d f=f x(0,0d x+f y(0,0d y=0, Δf=f(x,y-f(0,0=(x2+y2sin1 x2+y2 =ρ2sin 1 ρ2
(Π(x,y:x2+y2≠0 从而
li m ρ→0 Δf-d f ρ= li m ρ→0 ρ2sin1 ρ2 ρ= li m ρ→0 ρsin1 ρ2
=0,即函数f(x,y在点(0,0可微.3 二元函数的连续性与可微性间的 关系
类似于一元函数的连续性与可导性间的关 系,即二元函数f(x,y在点P(x ,y0可微,则必 连续.反之不然.例5 证明函数f(x,y=|xy|在点(0, 0连续,但它在点(0,0不可微.33 第2期
讨论二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系
证明(1因为li m x →0y →0 f(x,y =li m x →0y →0 |xy |= 0=f(0,0,故函数f(x,y =|xy |在点(0,0 连续;(2因为Δf =f(0+Δx,0+Δy-f(0,0=|Δx ||Δy | d f =f ′x(0,0d x +f ′ y(0,0d y =0 所以 li m ρ→0Δf-d f ρ=li m Δx →0Δy →0
|Δx ||Δy |(Δx 2 +(Δy 2 =li m Δx →0Δy →0 |Δx ||Δy |(Δx 2+(Δy 2 当动点(x,y 沿着直线y =x 趋于(0,时,有 li m Δx →0Δy →0 |Δx ||Δy |(Δx 2+(Δy 2= 1 2 ≠0即li m ρ→0Δf-d f ρ≠0,故f(x,y 在原点(0,0不可微.综上所述二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系如图1所示.参 考 文 献 华东师范大学数学系.数学分析(三版.高等教育出版社，2004.5.2 吴良森,等.数学分析学习指导书.高等教育出版社,2004.9.3 刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义(三版.高等教育出版社, 2001.2.4 刘玉琏,等.数学分析讲义学习辅导书(二版.高等教育出版 社,2004.7.D I SCUSS TH E RE LATI ONS O F THE CONTI NUI T Y,THE EXI STENCE OF PARTI AL DERI VATI ON AN D THE D I FFERENTI ABI L I T Y OF THE DUAL FUNCTI ON Zhang Hong(A Cheng I nstitute of Harbin Nor mal University
Men Yanhong(qingdao Feiyang Vocati onal and Techaial College ABSTRACT I n this paper,we discuss the relati ons of the continuity,the existence of partial derivati on and the differentiability of the dual functi on by the s pecific exa mp les.Keywords:Continuity;The existence of partial derivati on;D ifferentiability(责任编辑:李双臻 3哈尔滨师范大学自然科学学报
2007年
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