二元函数极限的研究(大全)

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第一篇：元函数的极限与连续

§2.3 二元函数的极限与连续

定义 设二元函数有意义, 若存在 常数A,都有

则称A是函数

当点

趋于点

或 或趋于点

时的极限,记作

。的方式无关,即不,当

（即）时，在点的某邻域

内 或 必须注意这个极限值与点论P以什么方

向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向分接近, 就能 使

。只要P与 充与A 接近到预先任意指定的程度。注意：点P趋于点点方式可有无穷多

种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。

图8-7

同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,极限

在该点

存在,但不相等, 则可以判定元函数极限不 存在的重要方法之一。

极限不存在。这是判断多 一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二元函数极

限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。例如

若

有, 其中。

求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理

来计算。例4 求。

解由于 , 而,根据夹逼定理知

,所以。

a≠0)。

解 例5 求

（。例6 求。解

由于理知

且,所以根据夹逼定

.例7 研究函数在点处极限是否存在。

解 当x2+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于

（0，0）的极限，有值，可得到不同的极 限值,所以极限

不存在,但 ,。很显然，对于不同的k。注意：极限方式的 的区别, 前面两个求本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的

极限,我们称为求二重极限。

例8 设函数极限都不存在,因 为对任何,当

时,。它关于原点的两个累次

的第二项不存在极限；同理对任何 时, 的第 一项也不存在极限,但是因此。

由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。由例8可知,二重极限存

在,但二个累次极限不存在。我们有下面的结果: 定理1 若累次极限都存在,则

三者相等（证明略）。推论 若但不相等,则二重极限

不

存在和二重极限, 由于, 存在。定义 设

在点的某邻域内有意义,且称函数,则

在点

处

连

续,记

上式称为函数(值)的全增量。则。

定义

增量。

为函数(值)对x的偏二元函数连续的定义可写为

偏增量。若断点, 若

在点

为函数（值）对y的处不连续,则称点

是的间在某区域

在区域G上连续。若

在闭区域GG上每一点都连续,则称的每一内点都连 续,并在G的连界点

处成立 , 则称为连续曲面。在闭域G上连续。闭域上连续的二元函数的图形称 关于一元函数连续的有关性质, 如最值定理、介值定理、Cantor定理,对于

二元函数也相应成立。可以证明如下的重要结果：

定理2 设

在平面有界闭区域G上连续,则（1）必在G上取到最大值,最小值及其中间的一切值;（2）,当

时,都有

。以上关于二元函数的在G上一致连续,即

极限和连续的有关性质和结论在n元函数中仍然成立。

第二篇：元函数的极限

§2 二元函数的极限

(一)教学目的：

掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系．

(二)教学内容：二元函数的极限的定义；累次极限．

基本要求：

(1)掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法．

(2)较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题．

(三)教学建议：

(1)要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极

限的方法．

(2)对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法．

一二元函数的极限

先回忆一下一元函数的极限： limf(x)A 的“” 定义(c31)：

xx0

0设函数f(x)在x0的某一空心邻域U(x0,1)内由定义，如果对

0,当 xU(x0,)，即 |xx0| 时，都有 |f(x)A|，0,1，则称xx0时，函数f(x)的极限是 A.类似的，我们也可以定义二元函数的极限如下：

设二元函数f(x,y)为定义在DR2上的二元函数，在点P0(x0,y0)为D的一个聚点，A是一个确定的常数，如果对 0,0，使得当 P(x,y)U(P0,)D 时，0都有 |f(P)A|，则称f在D上当 PP0时，以A为极限。记作

PP0PDlimf(P)A

也可简写为limf(P)A或

PP0(x,y)(x0,y0)

2limf(x,y)A 例1用定义验证

2lim(x,y)(2,1)2(xxyy)7 222证明:|xxyy7||xx6xyxy1|

|x3||x2||xy1||y1|

限制在（2，1）的邻域 {(x,y)||x2|1,|y1|1}

|x3|6,|xy1|6

取 min{1,/6}，则有

|xxyy|

由二元函数极限定义lim

(x,y)(2,1)

(xxyy)7

xy,(x,y)(0,0)xy22

例2 f(x,y)xy，0,(x,y)(0,0)

证明lim

(x,y)(0,0)

f(x,y)0

xyxy

证|f(x,y)||xy

所以

lim

(x,y)(0,0)

||xy|

lim

(x,y)(0,0)

|f(x,y)|lim

(x,y)(0,0)

|xy|0

|f(x,y)|0

对于二元函数的极限的定义，要注意下面一点：

PP0

limf(P)A 是指： P(x,y)以任何方式趋于P0(x0,y0)，包括沿任何直线，沿任

何曲线趋于p0(x0,y0)时，f(x,y)必须趋于同一确定的常数。

对于一元函数，x 仅需沿X轴从x0的左右两个方向趋于x0，但是对于二元函数，P趋于P0的路线有无穷多条，只要有两条路线，P趋于P0时，函数f(x,y)的值趋于不同的常数，二元函数在P0点极限就不存在。

1,0yx2

例1 二元函数f(x,y)

0,rest

请看图像（x62），尽管P(x,y)沿任何直线趋于原点时f(x,y)都趋于零，但也不能说该函数在原点的极限就是零，因为当P(x,y)沿抛物线 ykx,0k1时，f(x,y)的值趋于１而不趋于零，所以极限不存在。

(考虑沿直线ykx的方向极限).x2y,

例2设函数f(x,y)x2y2

0,

(x.,y)(0,0)(x,y)(0,0)

求证limf(x,y)0

x0

y0

证明因为|f(x,y)0|

x|y|xy



x|y|x

|y|

所以，当(x,y)(0,0)时，f(x,y)0。

请看它的图像，不管P(x,y)沿任何方向趋于原点，f(x,y)的值都趋于零。

通常为证明极限limf(P)不存在,可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两

PP0

个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关.但应注意 ,沿任何方向的极限存在且相等  全面极限存在.例3

设函数

(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)

xy,22

f(x,y)xy

0,

证明函数 f(x,y)在原点处极限不 存在。

证明尽管 P(x,y)沿 ｘ轴和ｙ轴

趋于原点时(f(x,y)的值都趋于零，但沿直线ymx 趋于原点时

xmxx(mx)

f(x,y)

mx

(1m)x



m1m

沿斜率不同的直线趋于原点时极限不一样，请看它的图象, 例１沿任何路线趋于原点时，极

限都是0，但例２沿不同的路线趋于原点时，函数趋于不同的值，所以其极限不存在。

例4

非正常极限极限

lim

(x,y)(x0,y0)

判别函数f(x,y)

xy11xy

在原点是否存在极限.f(x,y)的定义:

12x3y

例1设函数f(x,y)证明limf(x,y)

x0y0

证|

12x3y

||

13(xy)

|

只要取

16M

|x0|,|y0|时，都有

|

12x3y16

||

13(xy)

|

M

12x3y

请看它的图象，因此是无穷大量。

例2求下列极限: i)

lim

xyxy

;ii)

(x,y)(0,0)(x,y)(3,0)

lim

sinxyy

;

iii)

(x,y)(0,0)

lim

xy11xy

;iV)

(x,y)(0,0)

lim

ln(1xy)

xy

.二.累次极限: 累次极限

前面讲了P(x,y)以任何方式趋于P0(x0,y0)时的极限，我们称它为二重极限，对于两个自变量x,y依一定次序趋于x0,y0时 f(x,y)的极限，称为累次极限。对于二元函数f(x,y)在P0(x0,y0)的累次极限由两个

limlimf(x,y)和limlimf(x,y)

yy0xx0

xx0yy0

例1

f(x,y)

xyxyxyxy

222, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.22

例2 f(x,y), 求在点(0 , 0)的两个累次极限.例3 f(x,y)xsin

1y

ysin

1x, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.二重极限与累次极限的关系:

（１）两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们的次序。

例函数 f(x,y)

xyxy

xy

22的两个累次极限是 yyyxxx

limlim

xyxy

xyxyxy

xy

y0x0

lim

y0

lim(y1)1

y0

lim(x1)1

x0

limlim

x0y0

lim

x0

（２）两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在 例f(x,y)

xyxy

xyxy，两个累次极限都存在limlim

y0x0

0,limlim

xyxy

x0y0

0

但二重极限却不存在，事实上若点P(x,)沿直线 ykx趋于原点时，kx

f(x,y)

x(kx)



k1k

二重极限存在也不能保证累次极限存在二重极限存在时,两个累次极限可以不存在.例函数 f(x,y)xsin

1yysin

1x

由|f(x,y)|  |x||y|0 ,(x ,y)(0,0).可见二重极限存在 ,但

1x

limsin

x0

和limsin

y0

1y

不存在，从而两个累次极限不存在。

（4）二重极限极限lim

(x,y)(x0,y0)

f(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一次序)都存

xx0yy0

在 , 则必相等.(证)

（5）累次极限与二重极限的关系

若累次极限和二重极限都存在，则它们必相等

第三篇：二元极限函数的一致收敛性1|一致连续积分收敛极限为0

第! " 卷第#期! , , -年. ! 月

阜阳师范学院学报$自然科学版%

%/’0123(’4506327893:; 91013(? :@92:9

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二元极限函数的一致收敛性

杨

翠

! #-, . . %

安庆师范学院数学系*安徽安庆$

摘

要C 从课堂教学的角度出发*讨论了二元函数极限D 含参量广义积分D 函数列D 函数项级数一致收敛的概念和相

从而加深学生对一致收敛性的概念和相关性质的理解) 关性质的统一*

关键词C 一致收敛E 函数列E 含参量的广义积分E 二元函数E 函数项级数中图分类号C G . F .

文献标识码C H

文章编号C . , , #I #" ! J $! , , -%, #I , , ! -I , !

在K 数学分析L 的教学过程中*一致收敛性是一个非常重要的性质*但是这些一致收敛性很分散*主要有含参变量的广义积分的一致收敛性D 二元函数极限的一致收敛性D 函数列的一致收敛性D 函数项级如果将这些知识点单一D 孤立的传数的一致收敛性)

授给学生*很难被学生完全消化吸收*也很难让学生将这一知识点融会贯通) 函数列D 函数项级数D 含参变量的广义积分都有一个共同的特点*即它们可以相应地看成二元函数或离散的二元函数*可以通过二元函数极限的一致收敛性将这些一致收敛性的定义和相应的性质统一起来)

. I #N . 二元函数一致收敛的概念M

列c P e *P $O %f ‘$O *d d aT U 每一个函数序列‘d P %在Q 上一致收敛到V $O %) d

利用这个准则*就可将连续性的问题转化为序列$离散的%的问题了)

! 一致收敛的二元函数的性质

定理. 连续性%设XP W M $S *T U%*‘$O *P %关于O 在Q 上连续*且P aT U 时‘在Q 上$O *P %

一致收敛于V 则V $O %*$O %在Q 上连续)

定理! 可积性%XPW M $S *TU%*‘$O *P %设*关于O 在Q 上连续*当P 在Q aT U 时*‘$O *P %上一致收敛于V 则V 在任一含于Q 的闭区间$O %*$O %上可积*且XM 有g *h N i Q*

定义. 设二元函数5定义在QR M $O *P %S *T

上*若存在函数V 使得XY U%$O %*O W Q*Z , *[对于任意OW Q*都有Z , 当PZ 时*

]5$O *P %^V $O %]_Y *$. %则称二元函数‘当P aT U 时在O W Q 上一$O *P %致收敛到V 记作$O %*

5$O *P V $O %*PaT U

关于二元函数的一致收敛*有下述两个重要准则C

准则. $=30:; 6准则%二元函数‘$O *P %当P aT U 时在O W Q 上一致收敛的充要条件是XY Z 对于任意OW Q*都有, *[Z , 当P *P b Z 时*

]5$O *P %^5$O *P b %]_Y

准则! 使$. %式成立的充要条件是对任何序

收稿日期C ! , , -I , #I ! ,

OW Q

j

g

h

V $O %k Of (@l

P a T U

5$O *P %k O

j

g

h

该定理指出C 在一致收敛的条件下*‘$O *P %中两个独立变量O 与P 在分别求积分和极限时*其运算顺序可以交换*即

P a T U

(@l

5$O *P %k Of @l 5$O *P %k O

j j (

g

a T U g P

h h

定理" 可微性%设二元函数‘$$O *P %定义在上*若当P aT U 时O QR M S *U%$O *P %, W Q 为‘

的收敛点*‘$O *P %关于O 在Q 上有连续的偏导数*

当P 在Q 上一致收敛*则‘aT U 时‘$O *P %$O *P %O 当PaT U 时的极限函数有连续的导函数*且

$(@l 5$O *P %%f (@l 5$O *P %a T U P a T U m k O P O

作者简介C 杨翠$女*硕士研究生*助教) 研究方向C 应用偏微分方程) . J n , ^%*

V X

阜阳师范学院学报$自然科学版’第81卷

该定理指出! 在一致收敛的条件下" #$%" &’中两个独立变量%与&在分别求导数和极限时" 其运

即算顺序可以交换"

$)*+#$%" &’’/) *+#$%" &’, -. &, -. 0(%&%

定义用二元函数一致收敛性的定义来统一7含参量广义积分一致收敛的定义用二元函数一致收敛的定可积性和可微性定理对于一致收敛的含参量广义积即得一致收敛的含参量广义积分的分也是成立的"

连续性I 可积性和可微性定理7

情形8函数列的一致收敛性与二元函数一致

收敛性的统一

对于函数列J 利用准则8即可将连续型5$%’L " K

的问题与离散型的问题相互转化" 从而将定义2用到离散型的二元函数H $%" K ’/5$%’上就是函数K 列的一致收敛性的定义7即

设二元函数H 定义$%" K ’/5$%’$K /2" 8" M’K

在9:; 上" 若存在函数=使得4" -.’$%’" %>9" 当K 对于任意%>9" 都?@A B " CD A B " A D 时" 有

相应地" 二元函数一致收敛的连续性I 义统一之后"

1一致收敛性在教学中的统一

情形2含参量广义积分的一致收敛性与二元

函数的一致收敛性的统一

首先" 分析含参量广义积分敛性的定义7

一致收%" 6’(6

35$

4-.

定义8设函数5定义在9:; $%" 6’4" -.9" A B " CD A 使当EA D 时" 对于任意%>9" 都有B "

5$%" 6’(6F =$%G @"

则称含参量广义积分在%>9上一致%" 6’(6

35$

4

-. 4

E

收敛到=$%’7

%" 6’(6

35$

4

-.

H $%" &’/

就可以将含参量广义积分一致收敛性的定义用该二元函数的定义来代替" 即

&4

的一致收敛性的定义" 这样" 5$%" 6’(6

3

4

&

5$%’F =$%G @" K

则称5当K $%’$K /2" 8" M’, . 时在%>9K

上一致收敛到=$%’7

相应地" 也可以得出一致收敛的函数列的性质" 即定理2对函数列也是成立的" 从而得到一致收敛N 1

的函数列的连续性I 可积性和可微性定理7

情形1函数项级数的一致收敛性与二元函数一致收敛性的统一

.

设二元函数5定义在9:; $%" 6’(64" -.’上" 若存在函数=使得?@$%’" %>9" A B " CD A B 当&AD 时" 对于任意%>9" 都有

5$%" 6’(6F =$%G @"

则称二元函数5当&,-. 时在%>9上%" 6’(6

3$

4&4&

3

对于函数项级数O P 其一致收敛性指的$%’" K

K /2

K

就是它的和函数Q $%’/K

%’的一致收敛性" O P $

R

R /2

.

则它的一致收敛性即为函数列的一致收敛性" 该情形归结到情形8从而函数项级数O P " $%’的一致K

K /2

收敛性的定义也可由二元函数的一致收敛性定义来统一" 相应的连续性I 可积性和可微性也可由定理2N 1得出7

一致收敛到=$%’7

事实上" 可以将含参量广义积分一致收敛性的

参考文献

数学分析; 北京! 高等教育出版社" ; 2

数学分析纵横谈; 北京! 北京大学出版社" 72U U 2! 2W T N 2V U 7; 8

数学分析; 北京! 高等教育出版社" 72U U U ! 1W U N 1T 27; Y

Z []^_‘a ^[b c _d c [e c ^]f b g _h i c j k [e i ^[h l m ‘i

n o p q r s *

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! >3>*>8>3; c

二元极限函数的一致收敛性

作者：

作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

杨翠， YANG Cui

安庆师范学院,数学系,安徽,安庆,246011

阜阳师范学院学报（自然科学版）

JOURNAL OF FUYANG TEACHERS COLLEGE(NATURAL SCIENCE)2006，23(4)0次

1. 华东师范大学数学系 数学分析 20012. 沈燮昌. 邵品琮 数学分析纵横谈 19913. 裴礼文 数学分析中的典型问题与方法 19934. 陈纪修. 於崇华. 金路 数学分析 1999

1.期刊论文 张国才. ZHANG Guo-cai 函数列局部一致收敛的条件 -聊城大学学报（自然科学版）2001,14(4)

给出了函数列局部一致收敛的充要条件,并对其局部广义一致收敛、局部亚一致收敛的条件进行了刻划.

2.期刊论文 刘彬. LIU Bin 用定义判别函数列一致收敛的一个注释 -渝州大学学报（自然科学版）2001,18(2)

从函数列一致收敛的定义出发,得出了定义判别法的另一种形式.用该法判别函数列的一致收敛性时,避开了定义判别法中寻求N的工作,从而在某些方面简化了定义判别法.

3.期刊论文 陈鹏. CHEN peng 函数列一致收敛的一个充分条件和正项级数收敛的一个充要条件 -雁北师范学院学报2005,21(2)

给出了有别于现行的数学分析教材中的函数列一致收敛的一个充分条件及其证明,由此得到相关的结论.

4.期刊论文 傅湧. FU Yong 有界闭区间上连续函数列一致收敛的充要条件 -大学数学2007,23(3)

判别函数列一致收敛的方法有函数列一致收敛定义、Cauchy一致收敛准则、limn→∞supx∈D|fn(x)-f(x)|=0及Dini定理,本文由函数列的等度连续性,可得出几个有界闭区间上连续函数列一致收敛的充要条件,推广了Dini定理.

5.期刊论文 张纪平. ZHANG Ji-ping 函数列一致收敛的一个充要条件 -泉州师范学院学报2008,26(6)

一致收敛的判别法对于函数列分析性质非常重要,Dini判别法是常见的判别方法,但它要求的条件相当强,不具普遍性,文章从点列角度出发给出函数列一致收敛的一个充要条件,并举例阐述其对判断是否一致收敛的有效性.

6.期刊论文 徐丽. XU Li 函数列一致连续和一致收敛及等度连续的关系 -上海电力学院学报2007,23(3)

连续、一致连续、一致收敛和等度连续是函数或函数列非常重要的性质.针对收敛的函数列,探讨了一致连续、一致收敛和等度连续两两之间的关系,并在有界区间上给出了一致连续、一致收敛和等度连续的等价关系.

7.期刊论文 马雪雅. 齐晓波 函数列的收敛与一致收敛 -昌吉学院学报2006,""(3)

本文通过收敛与一致收敛的概念研究,用函数列的收敛与一致收敛关系讨论数学分析中收敛问题,这也为函数列的收敛与一致收敛问题的深入研究提供了一种方法.

8.期刊论文 穆勇. MU Yong 关于函数列一致收敛的一个判定定理 -宜春学院学报2007,29(2)

给出函数列一致收敛的一个判定定理,并对这个定理进行严格的证明.

9.期刊论文 杨曼英 关于函数列收敛与一致收敛的一点思考 -娄底师专学报2004,""(2)

通过定义、定理、正反对比的例题论述了函数列收敛、一致收敛、内闭一致收敛及其之间的关系与差异.

10.期刊论文 曾冠章. ZENG Guan-zhang 一类函数列一致收敛性的研究 -江西科学2009,27(6)

文献[1]研究了形为{fn=(nkxl)/(ensxt)}的函数列一致收敛的几个例子.本文研究形为形式{fn=(nkxl)/(ensxt)}的函数列一致收敛的充要条件,在此基础上进一步研究和推广到这类函数列的导函数列和积分函数列一致收敛的条件.

本文链接：.cn/Periodical_fysfxyxb-zrkxb200604026.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：67039c9c-2575-493b-835a-9dcd0158f869

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