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第一篇：数理逻辑智能
数理逻辑智能
人们一直把数理逻辑智能看成是智能的核心，学者们也认为这种智能是人类认知能力的重要部分。有关数理逻辑智能，大多数人都认为数理逻辑智能就是一种加减乘除的能力。这是一种计算的能力，但是，数理逻辑智能所包含的远远不止这些。数理逻辑智能包括：事物分类、复杂问题简单化、计算、假设和证明等具体操作能力；逻辑类型、逻辑关系、陈述句和命题、函数等抽象思维能力。数理逻辑智能是所有科目和学习的基础，它和语言智能一起组成了学业型智能，在学校里受到绝对的重视。在学校里，数理逻辑智能高的孩子学习成绩通常都很好。人们也都大都喜欢这些孩子。他们的领悟能力特别强，凡事一点就通。教给他们从1数到10，他们就能独自摸索数到99，然后教给他们数100，他们就可以一直地数下去。有时我们会听到人家说：“这孩子挺聪明的，就是不好好学，要不然成绩早就上去了。”其实这样的孩子也可以说是数理逻辑智能高的孩子，相比“有点笨，但是很用功”的孩子，这类孩子未来的成功几率会更高。因为他们只要稍微用功学习，成绩就能大幅度提高。当别的孩子都花很多时间背公式的时候，逻辑智能高的孩子不会死记硬背，他们会在理解原理的基础上，熟练地运用公式，就算遇到难题也能通过举一反
三、自我摸索找出答案。
现在很多家长都头疼孩子不会写作文，一篇文章能在哪儿写上半天的工夫。然后拿过来一看，这句子读着这个别扭，还哪都不挨哪。家长们也许都觉得这是孩子语文没有学好的原因。家长们的想法是对的，但这不是根本的。孩子们不会写作文，究其原因两条：缺乏切身的体验；数理逻辑智能差。这家长说了，你这第一条我还能接受，可是这写作文跟数理逻辑有什么关系啊！当然有，而且关系还是深层次的。孩子的作文写不好，一是没有素材，二是不会组织语言。不会组织语言、说话毫无逻辑、颠三倒四，正是孩子逻辑能力差的一个表现。孩子在描述一个物体或一件事情的时候，不知该如何去说，不知道先说什么，后说什么。抓不着重点。而对于逻辑能力强的孩子来说，他在写作文或说话之前，会先想好了这个话应该怎么说，要完成一个作文题目，需要具备哪些内容，每一段内容又该怎么安排。所以说数理逻辑智能高的孩子不仅仅在理科科目上成绩很好，在文科科目上也很优秀。
数理逻辑智能高的人解决逻辑性问题比普通人要快得多，而且由于善于推理，往往会采用科学的方法来解决具体问题。比如我们出去逛街，买东西的时候突然发现钱包不见了。一般人呢可能就慌了，“哎呀，我钱包哪去了啊？刚才买东西的时候还在呢！”然后急的大脑一片空白什么也想不起来。但是数理逻辑智能高的人，当他意识到钱包丢了的时候，他首先会把需要挂失的卡之类的东西先做挂失，把损失减到最低。然后他就开始回想：我刚刚去了哪几个地方，在这几个地方我都干了些什么，在哪个地方我最有可能把钱包给丢了。然后依次回去找。体现了他们比普通人更有理性。不但如此，他们对数字也很敏感，很快就能记住电话号码。
此外，数理逻辑智能高的孩子做事相当有条理，不仅在学习上，在日常生活中，他们的条理性也表现得非常突出。我朋友的小孩，就是数理逻辑智能高的孩子。他今年上小学三年级，早上从来不需要大人叫他起床。他自己有个时间表，早上6:40—6:50起床，穿衣服；6:50—7:10洗漱，上厕所；7:10—7:20吃早饭，然后出门上学。晚上放学回来，作业先写什么，后写什么，也都不用他们家大人操心，很快就能做完，而且质量很高。他的衣橱里的衣服摆的很整齐，书架上的书也是分类放的，玩具全部放在一个箱子里，整个屋子特别干净，根本不像是小男孩的卧室。
第二篇：数理逻辑练习题及答案-
命题逻辑的推理
1． 判断下面推理是否正确。先将简单命题符号化，再写出前提、结论、推理的形式结构（以蕴涵式的形式给出）和判断过程（至少给出两种判断方法）：
（1）若今天是星期一，则明天是星期三；今天是星期一。所以明天是星期三。
（2）若今天是星期一，则明天是星期二；明天是星期二。所以今天是星期一。
（3）若今天是星期一，则明天是星期三；明天不是星期三。所以今天不是星期一。
（4）若今天是星期一，则明天是星期二；今天不是星期一。所以明天不是星期二。
（5）若今天是星期一，则明天是星期二或星期三。
（6）今天是星期一当且仅当明天是星期三；今天不是星期一。所以明天不是星期三。
2． 构造下面推理的证明：
（1）前提：p→(q→r), p, q
结论：r∨s
（2）前提：p→q, ┐(q∧r), r 结论：┐p
（3）前提：p→q
结论：p→(p∧q)
（4）前提：q→p, qs, st, t∧r 结论：p∧q
（5）前提：p→r, q→s, p∧q 结论：r∧s
（6）前提：┐p∨r, ┐q∨s, p∧q 结论：t→(r∨s)
3． 用附加前提法证明下面各推理：
（1）前提：p→(q→r), s→p, q
结论：s→r
（2）前提：(p∨q)→(r∧s),(s∨t)→u
结论：p→u
4． 用归谬法证明下面推理：
（1）前提：p→┐q, ┐r∨q, r∧┐s
结论：┐p
（2）前提：p∨q, p→r, q→s
结论：r∨s
5． 构造下面推理的证明。
（1）如果小王是理科学生，他必学好数学；如果小王不是文科生，他必是理科生；小王没学好数学。所以，小王是文科生。
（2）明天是晴天，或是雨天；若明天是晴天，我就去看电影；若我看电影，我就不看书。所以，如果我看书，则明天是雨天。答案
1．设p：今天是星期一，q：明天是星期二，r：明天是星期三。
（1）推理的形式结构为
(p→r)∧p→r
此形式结构为重言式，即
(p→r)∧pr 所以推理正确。
（2）推理的形式结构为
(p→q)∧q→p
此形式结构不是重言式，故推理不正确。
（3）推理形式结构为
(p→r)∧┐r→┐p
此形式结构为重言式，即
(p→r)∧┐r┐p
故推理正确。
（4）推理形式结构为
(p→q)∧┐p→┐q
此形式结构不是重言式，故推理不正确。
（5）推理形式结构为
p→(q∨r)它不是重言式，故推理不正确。
（6）推理形式结构为(pr)∧┐p→┐r
此形式结构为重言式，即(pr)∧┐p┐r
故推理正确。
推理是否正确，可用多种方法证明。证明的方法有真值表法、等式演算法。证明推理正确还可用构造证明法。
下面用构造证明法证明（6）推理正确。
前提: pr, ┐p
结论: ┐r
证明: ① pr 前提引入
②(p→r)∧(r→p)①置换
③ r→p ②化简律
④ ┐p 前提引入 ⑤ ┐r ③④拒取式
所以，推理正确。2．
（1）证明：
①p→(q→r)②p ③q→r ④q ⑤r ⑥r∨s
前提引入 前提引入 ①②假言推理 前提引入 ③④假言推理 ⑤附加律
（2）证明：
①┐(q∧r)②┐q∨┐r ③r ④┐q ⑤p→q ⑥┐p
前提引入 ①置换 前提引入 ②③析取三段论 前提引入 ④⑤拒取式
（3）证明：
①p→q ②┐p∨q
③(┐p∨q)∧(┐p∨p)④┐p∨(p∧q)⑤p→(p∧q)
前提引入 ①置换 ②置换 ③置换 ④置换
也可以用附加前提证明法，更简单些。
（4）证明：
①st 前提引入 ①置换 ②化简 ②(s→t)∧(t→s)③t→s
④t∧r ⑤t ⑥s ⑦qs ⑧(s→q)∧(q→s)⑨s→q ⑩q q→p p p∧q
前提引入 ④化简 ③⑤假言推理 前提引入 ⑦置换 ⑧化简 ⑥⑨假言推理 前提引入 ⑩⑩
假言推理 合取
（5）证明：
①p→r ②q→s ③p∧q ④p ⑤q ⑥r ⑦s ⑧r∧s
前提引入 前提引入 前提引入 ③化简 ③化简 ①④假言推理 ②⑤假言推理 ⑥⑦合取
（6）证明：
①t ②┐p∨r ③p∧q ④p ⑤r ⑥r∨s
附加前提引入 前提引入 前提引入 ③化简
②④析取三段论 ⑤附加
说明：证明中，附加提前t，前提┐q∨s没用上。这仍是正确的推理。
3．（1）证明：
①s 附加前提引入
②s→p ③p ④p→(q→r)⑤q→r ⑥q ⑦r
前提引入 ①②假言推理 前提引入 ③④假言推理 前提引入 ⑤⑥假言推理
（2）证明：
①p ②p∨q
附加前提引入 ①附加
③(p∨q)→(r∧s)前提引入 ④r∧s ⑤s ⑥s∨t ⑦(s∨t)→u ⑧u
②③假言推理 ④化简 ⑤附加 前提引入 ⑥⑦假言推理
4．（1）证明：
①p ②p→┐q ③┐q ④┐r∨q ⑤┐r ⑥r∧┐s ⑦r ⑧┐r∧r
结论否定引入 前提引入 ①②假言推理 前提引入 ③④析取三段论 前提引入 ⑥化简 ⑤⑦合取
⑧为矛盾式，由归谬法可知，推理正确。
（2）证明：
①┐(r∨s)②p∨q ③p→r ④q→s ⑤r∨s
⑥┐(r∨s)∧(r∨s)
结论否定引入 前提引入 前提引入 前提引入 ②③④构造性二难 ①⑤合取
⑥为矛盾式，所以推理正确。
5．（1）
令p：小王是理科生，q：小王是文科生，r：小王学好数学。
前提：p→r, ┐q→p, ┐r
结论：q 证明：
①p→r ②┐r ③┐p ④┐q→p ⑤q
前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入 ③④拒取式
（2）
令p：明天是晴天，q：明天是雨天，r：我看电影，s：我看书。
前提： p∨q, p→r, r→┐s
结论： s→q
证明：
①s ②r→┐s ③┐r ④p→r ⑤┐p ⑥p∨q ⑦q
附加前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入 ③④拒取式 前提引入 ⑤⑥析取三段论
第三篇：数理逻辑考试题及答案
“离散数学”数理逻辑部分考核试题答案
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一、命题逻辑基本知识（5分）
1、将下列命题符号化（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。共2分）（0）小刘既不怕吃苦，又爱钻研。
解：p∧q，其中，P：小刘怕吃苦；q：小刘爱钻研。（1）只有不怕敌人，才能战胜敌人。
解：q→p，其中，P：怕敌人；q：战胜敌人。
（2）只要别人有困难，老张就帮助别人，除非困难已经解决了。
解：r→(p→p)，其中，P：别人有困难；q：老张帮助别人；r：困难解决了。（3）小王与小张是亲戚。
解：p，其中，P：小王与小张是亲戚。
2、判断下列公式的类型（总共5题，完成的题号为学号尾数取5的余，完成1题。共1分）（0）A：((pq)((pq)(pq))) r（1）B：(p(qp))(rq)（2）C：(pr)(qr)（3）E：p(pqr)（4）F：(qr)r 解：用真值表判断，A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式，E为重言式，F为矛盾式。
3、判断推理是否正确（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共2分）
（0）设y=2|x|，x为实数。推理如下：如y在x=0处可导，则y在x=0处连续。发现y在x=0处连续，所以，y在x=0处可导。
解：设y=2|x|，x为实数。令P：y在x=0处可导，q：y在x=0处连续。由此，p为假，q为真。本题推理符号化为：(pq)qp。由p、q的真值，计算推理公式真值为假，由此，本题推理不正确。（1）若2和3都是素数，则6是奇数。2是素数，3也是素数。所以，5或6是奇数。
解：令p:2是素数，q:3是素数，r:5是奇数，s:6是奇数。由此，p=1，q=1，r=1，s=0。本题推理符号化为：((p q)→s)p q)→(r s)。计算推理公式真值为真，由此，本题推理正确。
二、命题逻辑等值演算（5分）
1、用等值演算法求下列公式的主析取范式或主合取范式（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。共2分）
（0）求公式p→((q∧r)∧(p∨(q∧r)))的主析取范式。
解：p→((q∧r)∧(p∨(q∧r))) p∨(q∧r∧p)∨(q∧r∧q∧r)
p∨(q∧r∧p)∨0 (p∧q∧r)∨(p∧1∧1)∨(q∧r∧p)(p∧(q∨q)∧(r∨r))∨(q∧r∧p)(p∧(q∨q)∧(r∨r))∨m7 (p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨m7 m0∨m1∨m2∨m3∨m7.（1）求公式((p→q))∨(q→p)的主合取范式。
解：((p→q))(q→p)
(p→q)(p→q)(p→q) pq M2.
（2）求公式(p→(p∨q))∨r的主析取范式。
解：(p→(pq))r p(pq)r (ppq r)1 m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7.2、应用分析（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共3分）
（0）某村选村委，已知赵炼玉、钱谷王、孙竹湾被选进了村委，三村民甲、乙、丙预言：
甲预言：赵炼玉为村长，钱谷王为村支书。
乙预言：孙竹湾为村长，赵炼玉为村支书。
丙预言：钱谷王为村长，赵炼玉为村妇女主任。
村委分工公布后发现，甲乙丙三人各预测正确一半。赵炼玉、钱谷王、孙竹湾各担任什么职务？ 解：设P1：赵炼玉为村长，p2：钱谷王为村长，p3：孙竹湾为村长，q1：赵炼玉为村支书，q2: 钱谷王为村支书，r1：赵炼玉为村妇女主任。
判断公式F((p1q2)(p1q2))((p3q1)(p3q1))((p2r1)(p2r1))
p1q2p3q1q2r11q2p3r1，由此，钱谷王为村支书，孙竹湾为村长，赵炼玉为村妇女主任。
说明：p1、p2、p3有且仅有一个为真，q1、q2有且仅有一个为真。一个人不能担任两职，一个职务不可由两人同时担任。
（1）某公司派赵、钱、孙、李、周五人出国学习。选派条件是：
① 若赵去，钱也去。② 李、周两人必有一人去。
③ 钱、孙两人去且仅去一人。④ 孙、李两人同去或同不去。⑤ 如周去，则赵、钱也同去。如何选派他们出国？
解：① 设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去。
②(1)(pq)
(2)(su)
(3)((qr)(qr))
(4)((rs)(rs))
(5)(u(pq))
③(1)~(5)构成的合取式为：
A=(pq)(su)((qr)(qr))((rs)(rs))(u(pq))(pqrsu)(pqrsu)由此可知，A的成真赋值为00110与11001，因而派孙、李去（赵、钱、周不去），或派赵、钱、周去（孙、李不去）。
三、命题逻辑推理（5分）
在自然推理系统中，构造下列推理过程（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。共5分）（0）如果张老师出国，则若李老师出国，王老师出国。现在的情况是张老师与李老师都要出国。所以，王老师不出国，则孙老师出国。解：形式化：
p：张老师出国；q：李老师出国；r：王老师出国；s：孙老师出国。前提：p(qr)，pq 结论：rs 证明：① p(qr)
【前提引入】
② p(qr) pqr
【①置换】 ③ pq
【前提引入】
④ r
【②③假言推理】 ⑤ r s
【④附加规则】 ⑥ r∨s
【⑤置换】
⑦ rs
【⑥置换】
证毕。
（1）若张同学与李同学是乐山人，则王同学是雅安人，若王同学是雅安人，则他喜欢吃雅鱼，然而，王同学不喜欢吃雅鱼，张同学是乐山人。所以，李同学不是乐山人。解：形式化：
p：张同学是乐山人；q：李同学是乐山人；r：王同学是雅安人；s：王同学喜欢吃雅鱼。前提：(pq) r，r s，s，p 结论：q 证明：①(pq) r
【前提引入】
② r s
【前提引入】
③(pq) s
【①②假言三段论】 ④ s
【前提引入】 ⑤ (pq)
【③④拒取式】 ⑥ pq
【⑤置换】 ⑦ p
【前提引入】
⑧ q
【⑥⑦析取三段论】
证毕。
（2）若n是偶数并且大于5，则m是奇数。只有n是偶数，m才大于6。现有n大于5。所以，若m大于6，则m是奇数。解：形式化：
p：n是偶数；q：n大于5；r：m是奇数；s：m大于6。前提：(pq) r，s p，q 结论：s r 证明：① q
【前提引入】
② sq
【①附加规则】（这是证明的关键）③ s q
【②置换】 ④ s p
【前提引入】 ⑤(s q）q（s p）
【③④合取】 ⑥ s(pq)
【⑤置换】 ⑦(pq) r
【前提引入】
⑧ sr
【⑥⑦假言三段论】
证毕。四、一阶逻辑的基本概念（5分）
1、一阶逻辑命题形式化（总共6题，完成的题号为学号尾数取6的余，完成1题。共2分）（0）人人都生活在地球上。
解：x(F(x)→G(x))，其中，F(x)：x是人，G(x)：x生活在地球上。（1）有的人长着金色的头发。
解：x(F(x)G(x))，其中，F(x)：x是人，G(x)：x长着金色的头发。（2）没有能表示成分数的无理数。
解：x(F(x)G(x))，其中，F(x)：x是无理数，G(x)：x能表示成分数。（3）说所有的男人比所有的女人力气大是不正确的。
解：xy(F(x) G(y)→S(x,y))，其中，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人，S(x,y)：x比y力气大。（4）有的学生不住在校内。
解：x(F(x)G(x))，其中，F(x)：x是学生，G(x)：x住在校内。（5）说有的男人比所有的女人力气大是正确的。解：x(F(x) y(G(x)→S(x,y)))，其中，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人，S(x,y)：x比y力气大。
2、给出下列公式的一个成真解释和一个成假解释（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。共3分）
（0）x(F(x) G(x))解：取解释I1：个体域为人的集合，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人。
则在I1解释下，x(F(x) G(x))为真命题。
取解释I2：个体域为人的集合，F(x)：x是中国人，G(x)：x是美国人。
则在I2解释下，x(F(x) G(x))为假命题。
（1）x(F(x) G(x) H(x))解：取解释I1：个体域为人的集合，F(x)：x是教师，G(x)：x是党员，H(x)：x是班主任。
则在I1解释下，x(F(x) G(x) H(x))为真命题。
取解释I2：个体域为人的集合，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人，H(x)：x是班主任。
则在I2解释下，x(F(x) G(x) H(x))为假命题。
（2）x(F(x)y(G(y) H(x,y)))解：取解释I1：个体域为整数集合，F(x)：x是正整数，G(x)：x是负整数，H(x,y)：x比y大。则在I1解释下，x(F(x)y(G(y) H(x,y)))为真命题。
取解释I2：个体域为自然数集合，F(x)：x是奇数，G(x)：x是偶数，H(x,y)：x比y大。则在I2解释下，x(F(x)y(G(y) H(x,y)))为假命题。五、一阶逻辑等值演算（5分）
1、证明等值式（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共1分）（0）证明等值式：x(A(x)B) xA(x)B。证明：x(A(x)B) x(A(x)B) xA(x)B x A(x)B x A(x)→B。
（1）证明等值式：x(A(x)B)xA(x)B。解：x(A(x)B) x(A(x)B) x A(x)B x A(x)B x A(x)→B
2、给出下列公式的前束范式（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。共2分）（0）x(F(x)→G(x))解：x(F(x)→G(x)) x (F(x)G(x)) x(F(x) G(x))（1）x(F(x) G(x))解：x(F(x) G(x)) x (F(x)G(x)) x(F(x) G(x)) x(F(x)→G(x))（2）yF(x,y)xG(x,y,z)解：yF(x,y)xG(x,y,z) yF(u,y)xG(x,v,z) y x(F(u,y)G(x,v,z))（3）xF(x)→y(G(x,y)H(x,y))解：xF(x)→y(G(x,y)H(x,y)) zF(z)→y(G(x,y)H(x,y)) z(F(z)→y(G(x,y)H(x,y))) zy(F(z)→(G(x,y)H(x,y)))
3、例证（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共2分）（0）举例说明“对无分配律”。
解：对无分配律指：不存在等价关系x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)。例如，取解释I：个体域为人的集合，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人。x(A(x)B(x))的真值为真，而xA(x)xB(x)的真值为假。
（1）举例说明“对无分配律”。
解：对无分配律指：不存在等价关系x(A(x)B(x)) x A(x)x B(x)。例如，取解释I：个体域为人的集合，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人。x(A(x)B(x))的真值为假，而x A(x)x B(x))的真值为真。
六、一阶逻辑推理（5分）
在自然推理系统中，构造下列推理过程（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共5分）（0）每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车，每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车，有的人不喜欢乘汽车。所以，有的人不喜欢步行。（个体域为人类集合）解：形式化：
F(x)：x喜欢步行；G(x)：x喜欢骑自行车；H(x)：x喜欢乘汽车。前提：x(F(x)→G(x))，x(G(x)H(x))，xH(x)结论：xF(x)证明：① x(F(x)→G(x))
【前提引入】
② F(y)→G(y)
【-】
③ x(G(x)H(x))
【前提引入】 ④ G(y)H(y)
【-】 ⑤ G(y)→H(y)
【④置换】
⑥ F(y)→H(y)
【②⑤假言三段论】 ⑦ H(y)→F(y)
【⑥置换】 ⑧ H(y)→x F(x)
【⑦ + 】 ⑨ xH(x)→x F(x)
【⑧ + 】 ⑩ xH(x)
【前提引入】 ⑾ x F(x)
【⑨⑩假言推理】
证毕。
（1）每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。王大海是科学工作者，并且聪明。所以，王大海在他的事业中将获得成功。（个体域为人类集合）解：形式化：
F(x)：x是科学工作者；G(x)：x刻苦钻研；H(x)：x聪明；I(x)：x事业成功；a:王大海。前提：x(F(x)→G(x))，x(G(x)H(x)→I(x))，F(a)，H(a)。结论：I(a)证明：① F(a)
【前提引入】
② x(F(x)→G(x))
【前提引入】 ③ F(a)→G(a)
【②-】
④ G(a)
【①③假言推理】 ⑤ H(a)
【前提引入】 ⑥ x(G(x)H(x)→I(x))
【前提引入】 ⑦ G(a)H(a)→I(a)
【⑥-】 ⑧ G(a)H(a)
【④⑤合取】
⑨ I(a)
【⑦⑧假言推理】
证毕。