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第一篇：浅谈物理学中的概率论
浅谈物理学中的概率论
课程名称：概率论与数理统计
任课教师：史灵生
姓名：李上
班级：化工系分2班
学号：2012011849
浅谈物理学中的概率论
摘要：概率论作为数学的一个重要分支，为经典统计物理的发展做出重要贡献；然而，在量子力学中，Copenhagen学派却对波函数的物理意义有着与经典概率论不同的统计解释——概率幅。
关键字：统计物理 Boltzmann分布律 量子力学 概率幅
概率论与数理统计作为数学的一个分支学科不仅与其他数学学科有十分深入的相互渗透，而且与其他自然科学、技术科学、管理科学、以至于人文科学都有着广泛的交叉，与生活实践和科学试验都有着紧密的联系，是许多新发展的前沿学科的基础。作为基础科学的物理学与概率论有着密不可分的关系，本文讲主要谈一谈物理学中的概率论。
1.概率论在经典统计物理中的应用
统计物理学也叫统计力学，是用统计平均的方法研究大量微观粒子的力学行为，是理论物理学重要分支。麦克斯韦-波尔兹曼统计分布是研究独立经典粒子按能量的最概然分布。对物理学，对物理化学，对化学工程都极其重要的意义。该分布在统计力学中占有重要地位，系统的各种热力学性质都与之有着十分密切的联系。
在定域子系中，Ni个彼此可以区分的粒子（可分是指它们可以按照位置加以辨别）占据gi个量子态的可能方式有giNi种。根据独立性N1，N2，„Ni，„个粒子分别占用能级的可能占据方式共有∏igiNi种。由于N个粒子是可以区分的，N个粒子分别为N1，N2，„Ni„个粒子的组合方式也可能有很多种。从N个粒子中取出N1个粒子放到能级中去，粒子的组合方式数为CNiN1N!；在余下N1!(NN1)!的N-N1个粒子中取出Ｎ2个粒子放入能级中去，这些粒子的组合方式数
CN2
NN1(NN1)!；依此类推，很容易得出可能出现的粒子占据方式总N2!(NN1N2)!
NgiiN!Ni数为。这样，我们便依据现有的概率论知识推出了giN!iN!Ni!iii
Boltzmann分布定律中微观状态数的数学表达式。后面根据微积分中已经学到的1 《基础物理化学》【M】,朱文涛
Lagrange乘数法，结合物理化学中的Boltzmann公式，即可得出Boltzmann分布律的最终的表达式。后半部分的证明并没有涉及到概率论的知识，因此这里不再赘述。
在统计物理学中，对于费米子的费米-狄拉克统计（F-D分布）、对于波色子的玻色-爱因斯坦统计（B-E分布）和上文提到Boltzmann分布是三种重要的统计规律，而它们的得出都与概率论与数理统计有着密不可分的关系。由此可见，概率与统计是统计力学中一项重要的理论武器。
2.量子力学中概率幅概念的引入
著名的美国物理学家Feynman曾说：“双缝衍射实验表现了量子力学的一切奥秘。”在物理学中的双缝衍射实验中，当两条缝同时打开时，衍射图形应该是在两条缝轮流打开的条件下得到的两个衍射图形的叠加。这一实验事实表明：经典概率论中的全概率公式并不不适用于双缝衍射过程。2概率幅是以著名物理学家Born为代表的Copenhagen学派为解释这一现象而提出的假设——一个粒子通过某一条缝到达屏幕上某处的概率幅等于两条缝轮流打开时，该事件的两个概率幅之和——波函数Ψ是复数, 而所有可观察的物理量都必须用实数表示，因此Born建议将Ψ的绝对值的平方看作是波函数和可观察物理量之间的联系桥梁，称为概率幅。概率幅叠加的假设与实验结果符合的很好，这一假设在量子力学中有着重要的意义，它被Feynman称为“量子力学的第一原理”3，玻恩本人也因此而获得诺贝尔物理学奖。玻恩本人这样理解这一假设——“量子本身遵守概率定律，但是概率本身还是受因果律支配的。”4虽然有一些物理学家如爱因斯坦、德布罗意等人反对这一观点5，但是至少在目前还是不能动摇这一理论的地位。
在物理理论中引入概率概念在哲学上有着重要意义，它意味着，在已知给定条件下，不可能精确地预知结果，只能用统计的方法给出结论，这与经典物理学中的严格因果律是矛盾的。而如今，混沌正是物理学中一个重要的研究分支。
结束语
概率论与数理统计的发展，促进了包括物理学等其他学科的发展；另一方面，20世纪以来，由于物理学和其他学科的推动，概率论飞速发展，理论课题不断2《概率的干涉与态迭加原理》【J】，谭天荣《The Feynman's Lectures on Physics》，【M】, Feynman 4 《Introducing quantum theory》，【M】, Joseph P.McEvoy 5 《Quantum Paradoxes and Physical Reality》，【M】, F.Selleri
扩大与深入，应用范围大大拓宽，已渗透到许多科学领域，应用到国民经济各个部门，成为科学研究不可缺少的工具。因此学好概率论与数理统计这门课程对我们的学习、工作、生活都有着极其重要的意义。
参考文献：1.《基础物理化学》【M】,朱文涛
2.《概率的干涉与态迭加原理》【J】，谭天荣
3.《The Feynman's Lectures on Physics》【M】, Feynman4.《Introducing quantum theory》【M】, Joseph P.McEvoy5.《Quantum Paradoxes and Physical Reality》【M】,F.Selleri
第二篇：浅谈物理学中的概率论
浅谈物理学中的概率论
课程名称：概率论与数理统计
任课教师：史灵生
姓名：李上
班级：化工系分2班
学号：2012011849
浅谈物理学中的概率论
摘要：概率论作为数学的一个重要分支，为经典统计物理的发展做出重要贡献；然而，在量子力学中，Copenhagen学派却对波函数的物理意义有着与经典概率论不同的统计解释——概率幅。
关键字：统计物理 Boltzmann分布律 量子力学 概率幅
概率论与数理统计作为数学的一个分支学科不仅与其他数学学科有十分深入的相互渗透，而且与其他自然科学、技术科学、管理科学、以至于人文科学都有着广泛的交叉，与生活实践和科学试验都有着紧密的联系，是许多新发展的前沿学科的基础。作为基础科学的物理学与概率论有着密不可分的关系，本文讲主要谈一谈物理学中的概率论。
1.概率论在经典统计物理中的应用
统计物理学也叫统计力学，是用统计平均的方法研究大量微观粒子的力学行为，是理论物理学重要分支。麦克斯韦-波尔兹曼统计分布是研究独立经典粒子按能量的最概然分布。对物理学，对物理化学，对化学工程都极其重要的意义。该分布在统计力学中占有重要地位，系统的各种热力学性质都与之有着十分密切的联系。
在定域子系中，Ni个彼此可以区分的粒子（可分是指它们可以按照位置加以辨别）占据gi个量子态的可能方式有giNi种。根据独立性N1，N2，„Ni，„个粒子分别占用能级的可能占据方式共有∏igiNi种。由于N个粒子是可以区分的，N个粒子分别为N1，N2，„Ni„个粒子的组合方式也可能有很多种。从N个粒子中取出N1个粒子放到能级中去，粒子的组合方式数为CNiN1N!；在余下N1!(NN1)!的N-N1个粒子中取出Ｎ2个粒子放入能级中去，这些粒子的组合方式数
CN2
NN1(NN1)!；依此类推，很容易得出可能出现的粒子占据方式总N2!(NN1N2)!
NgiiN!Ni数为。这样，我们便依据现有的概率论知识推出了giN!iN!Ni!iii
Boltzmann分布定律中微观状态数的数学表达式。后面根据微积分中已经学到的1 《基础物理化学》【M】,朱文涛
Lagrange乘数法，结合物理化学中的Boltzmann公式，即可得出Boltzmann分布律的最终的表达式。后半部分的证明并没有涉及到概率论的知识，因此这里不再赘述。
在统计物理学中，对于费米子的费米-狄拉克统计（F-D分布）、对于波色子的玻色-爱因斯坦统计（B-E分布）和上文提到Boltzmann分布是三种重要的统计规律，而它们的得出都与概率论与数理统计有着密不可分的关系。由此可见，概率与统计是统计力学中一项重要的理论武器。
2.量子力学中概率幅概念的引入
著名的美国物理学家Feynman曾说：“双缝衍射实验表现了量子力学的一切奥秘。”在物理学中的双缝衍射实验中，当两条缝同时打开时，衍射图形应该是在两条缝轮流打开的条件下得到的两个衍射图形的叠加。这一实验事实表明：经典概率论中的全概率公式并不不适用于双缝衍射过程。2概率幅是以著名物理学家Born为代表的Copenhagen学派为解释这一现象而提出的假设——一个粒子通过某一条缝到达屏幕上某处的概率幅等于两条缝轮流打开时，该事件的两个概率幅之和——波函数Ψ是复数, 而所有可观察的物理量都必须用实数表示，因此Born建议将Ψ的绝对值的平方看作是波函数和可观察物理量之间的联系桥梁，称为概率幅。概率幅叠加的假设与实验结果符合的很好，这一假设在量子力学中有着重要的意义，它被Feynman称为“量子力学的第一原理”3，玻恩本人也因此而获得诺贝尔物理学奖。玻恩本人这样理解这一假设——“量子本身遵守概率定律，但是概率本身还是受因果律支配的。”4虽然有一些物理学家如爱因斯坦、德布罗意等人反对这一观点5，但是至少在目前还是不能动摇这一理论的地位。
在物理理论中引入概率概念在哲学上有着重要意义，它意味着，在已知给定条件下，不可能精确地预知结果，只能用统计的方法给出结论，这与经典物理学中的严格因果律是矛盾的。而如今，混沌正是物理学中一个重要的研究分支。
结束语
概率论与数理统计的发展，促进了包括物理学等其他学科的发展；另一方面，20世纪以来，由于物理学和其他学科的推动，概率论飞速发展，理论课题不断2《概率的干涉与态迭加原理》【J】，谭天荣《The Feynman's Lectures on Physics》，【M】, Feynman 4 《Introducing quantum theory》，【M】, Joseph P.McEvoy 5 《Quantum Paradoxes and Physical Reality》，【M】, F.Selleri
扩大与深入，应用范围大大拓宽，已渗透到许多科学领域，应用到国民经济各个部门，成为科学研究不可缺少的工具。因此学好概率论与数理统计这门课程对我们的学习、工作、生活都有着极其重要的意义。
参考文献：1.《基础物理化学》【M】,朱文涛
2.《概率的干涉与态迭加原理》【J】，谭天荣
3.《The Feynman's Lectures on Physics》【M】, Feynman4.《Introducing quantum theory》【M】, Joseph P.McEvoy5.《Quantum Paradoxes and Physical Reality》【M】,F.Selleri
第三篇：浅谈概率论中“数学期望”概念的讲解
浅谈概率论中“数学期望”概念的讲解
摘要：在概率论与数理统计的学习中，“数学期望”是一个比较抽象的概念，本文阐述了“数学期望”概念讲解中比较重要的三个内容，即：如何“定义”，如何“引申”到连续型随机变量的定义，以及如何“过渡”到方差。
关键词：数学期望；概率论与数理统计；教学
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）45-0199-03
在我们进行概率论与数理统计的教学中，教材的编排往往是在进行了随机变量及其分布函数的学习之后，立刻进入随机变量数字特征的学习，而最先面对的数字特征就是数学期望。“数学期望”这个概念的起源源于下面这个经典典故。
早些时候，法国有两个大数学家，一个叫做布莱士?帕斯卡，一个叫做费马。帕斯卡认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分？是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？这两种分法都不对。正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的3/4，赢了3局的拿这个钱的1/4。这是为什么呢？假定他们俩再赌一局，A有1/2的可能赢得他的第5局，B有1/2的可能赢得他的第4局。若是A赢满了5局，钱应该全归他；若B赢得他的第4局，则下一局中A、B赢得他们各自的第5局的可能性都是1/2。所以，如果必须赢满5局的话，A赢得所有钱的可能为1/2+1/2×1/2=3/4，当然，B就应该得1/4了。数学期望由此而来。
通过这几年的教学体会和教学经验，笔者发现“数学期望”这一概念尽管来源于生活，而且跟现实生活结合得非常紧密，但因为它非常抽象，一般同学学到这个地方就会感觉到难于理解和接受。本文对数学期望概念的讲解进行了介绍，以期起到“抛砖引玉”的作用。
一、关于如何定义“数学期望”
首先是如何引入的问题。对于如何引入“数学期望”，我们为了唤起学生的学习兴趣，激发他们的学习动力，可以举一些密切联系生活的例子，比如上面的经典典故，或者将上面的经典典故作稍许变动，得到另外一个例子，如文献[3]中就是将“赌金问题”换成了“乒乓球比赛问题”。我们也可以作这样类似的变动，以吸引学生的课堂注意力，加深他们对《概率论与数理统计》这门课程在解决生活实际问题的作用是非常大的印象，唤起他们对这门课程的兴趣，也激发他们对用数学方法处理现实问题的热情。
这种引入方法的特点是直接、简单，节省上课时间，如果教师认为教学任务比较繁重、教学时间比较紧张，无法保证后续内容时间的把控，那么可以采用这种简洁的方式进行引入工作。
接着可通过一个例题来求解数学期望，从而加深学生对定义的理解和记忆。例如下面这则简单例子：掷一枚六面骰子，已知其各面朝上的可能性是相同的，则掷得的点数的数学期望是多少呢？
此时可以引导学生思考：骰子的任何一面都不可能为3.5，然而最后算得的掷得的点数的数学期望却是3.5，这说明了什么问题呢？这说明了期望值并不一定等同于常识中的“期望”，“期望值”也许与每一个结果都不相等。换句话说，期望值是该随机变量取值的平均数，期望值并不一定包含于随机变量的取值集合里，这就加深了学生对数学期望定义的理解和把握。
二、关于如何“引申”到连续型随机变量期望的定义
对于连续型随机变量其值充满整个区间，且取每一特定值的概率均为0，因此不能直接利用上述离散型随机变量期望定义求其数学期望。但可将连续型随机变量离散化，再由离散型随机变量的数学期望的定义引申出连续型随机变量的数学期望的定义。
三、关于如何“过渡”到方差
因为方差本身就是一种数学期望，但是如何引出“方差”这一数学期望却是要费一点心思的。比如说现在我们面前摆放着两只手表，它们每日的走时误差（以分为单位）分别以随机变量和表示，其分布律如下。
四、结语
通过实际的教学实践，我们发现“数学期望”概念对于许多同学来说是非常抽象的，因此，对它概念的讲解就应该是我们必须注意的地方。本文是笔者对“数学期望”概念的讲解的一点经验总结，希望能对概率论与数理统计的教学起到一点“抛砖引玉”的作用。
参考文献：
[1]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2008.[2]李正耀，周德强.大学数学――概率论与数理统计[M].北京：科学出社，2009.[3]熊欧，仇海全，武洁.数学期望的教学方法新探[J].科技信息，2010，（3）.基金项目：长江大学教研项目（JY2011023）
作者简介：曹小玲（1981-），女，数学与应用数学系，讲师，现主要从事数字图像处理和高等工程数学的教学与研究工作。
推荐专题： 浅谈物理学中的概率论