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第一篇：导数与微分的应用举例
江西师范大学数学与信息科学学院 学士学位论文
导数与微分的应用举例
Examples of applications of the derivative
and differential
姓 名：吴文才
学 号：0707010193
学 院：数信学院
专 业：数学与应用数学
班 级：07数学（3）班
指导老师：桂国祥 (讲师）
完成时间：2011年2月22日
导数与微分的应用
吴文才
【摘要】本文通过对导数与微分的基本理论来解决数学中的相关问题，通过例题从简单应用和综合应用来说明导数与微分的应用，如在函数单调性、极值，不等式证明、实际问题应用介绍，还有在高等数学中运用导数与微分求不定式极限的介绍。同样在实际中利用微分把非线性函数线性化，复杂的计算简单化，把导数引入经济学, 使经济学研究的对象从常量进入变量, 可以说运动进入了经济学,, 辩证法进入了经济学, 这在经济学的发展史上具有重要的意义。来说明导数与微分的重要性，以及在数学生活领域的广泛应用。
【关键词】导数 微分 函数 极值 近似值
Examples of applications of the derivative and differential
Wu wen cai
【Abstract 】 Based on the basic theories of differential and derivative, this paper aims to solve the questions related in mathematics and make an illustration of the application of derivative and differential through the simple application and comprehensive application by instances, such as introduction of application in functional monotonic, extreme, inequality proof and practical questions, and to introduce the methods of using derivatives and differential in higher mathematics to solve questions of quadrate infinitive limit. As well as mineralizing the nonlinear function and the simplification of complex calculation by differential in practice, introducing derivative into the economics research to turn the objects from constant into variables, thus movements and dialectics entering economics, which is a landmark with a vital significance in the history of Economics. The importance of derivative and differential, along with the wide application in mathematics and daily life will both be illustrated in this paper.
【Keywords 】derivative differentia functions extreme approximation
目录
1 引言 . ............................................................. 1
2 预备知识 . ......................................................... 2
3导数与微分的应用 .................................................. 6
3.1导数在函数中的应用 . .......................................... 6
3.1.1求函数极值和最值 ....................................... 6
3.1.2求函数的解析式 ......................................... 8
3.1.3判断函数的周期性，奇偶性 ............................... 9
3.1.4求曲线的切线 ........................................... 9
3.1.5导数的定义求极限 ...................................... 11
3.2导数解决不等式问题 . ......................................... 12
3.2.1构造辅助证明不等式 .................................... 12
3.2.2构造辅助求不等式参数的范围 ............................ 14
3.2.3微分中值定理解决不等式问题 ............................ 14
3.3 洛必达法则求未定式的极限 ................................... 16 03.3.1型不定式极限 . ........................................ 16 0
∞3.3.2型不定式极限 ........................................ 17 ∞
3.3.3其他类型不定式极限 .................................... 18
3.4微分在近似值中的应用 . ....................................... 19
3.4.1计算函数的近似值 ...................................... 19
3.4.2误差估计 .............................................. 20
3.5导数与微分证明恒等式 . ....................................... 20
3.6导数与微分探究方程根的存在性或唯一性 . ....................... 21
3.7导数与微分的综合应用 . ....................................... 23
3.7.1导数与微分的实际问题建模 .............................. 23
3.7.2导数在微观经济中的简单应用 ............................ 26
4小结 ............................................................. 27
参考文献 . .......................................................... 28
1 引言
导数与微分的知识和方法在数学的许多问题上，能起到以简驭繁的作用，尤其体现在判定函数相关性质，曲线的切线，证明不等式，恒等式，研究函数的变化形态及函数作图上. 导数是微分学中重要的基础知识, 是研究函数解析性质的重要手段，在求函数的极值, 最值方面起着“钥匙”的作用。通过大学的课程，我们对微观经济学一些概念，也有了一定的认识。由导数定义
f ' lim (x )=∆x →0f (x 0+∆x )-f (x 0)∆x 利用极限与无穷小量之间的关系，上式可写∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)=f ' (x 0)∆x +O(∆x ) 即函数在x 0处的改变量 y 课表示成两部分： x 的线性部分f ' (x 0)∆x 与∆x 的高阶无穷小部分O(∆x )。当 x 充分小时，函数的改变量可由第一部分近似代替∆y ≈f ' (x 0)∆x 而计算函数改变量的精确值，微分概念依赖于导数概念，但它具有独立的意义，它是函数的局部线性化. 在数学上最容易处理的函数是线性函数，借助微分可使一大批非线性函数转化为线性函数。一般来说是较繁琐、较困难的，但是计算它的近似值相对要容易些.
111∆s =g(t+∆t) 2-gt 2=gt(∆t) +g(∆t) 2 222
显然当∆t →0时，∆s 是无穷小量，其中第一部分gt (∆t )是同价无穷小，而第二12部分gt (∆t )是比∆t 高阶的无穷小量，且当∆t 很小时，它比第一部分要小得多，2
12所以可将第二部分gt (∆t )忽略掉，而用第一部分gt (∆t )近似地表示∆s ，即2
∆s ≈gt (∆t )。我们将第一部分gt (∆t )称∆s 为的主要部分，它是关于∆t 的线性函数，计算起来要简便些。
2 预备知识
导数它来源于求曲线在一点处的切线和运动物体在某时刻的瞬时速度。因而，导数的几何意义是切线斜率；
导数的几何意义： 曲线在一点处切线的斜率.
导数的物理意义： 瞬时速度. 一个变量对另一个变量的变化率..
导数的概念:设函数y =f (x ) 在点x 0的邻域内有定义，若极限
lim f (x ) -f (x 0) 存在则称函数f 在点x 0处可导并称该极限为函数f 在点x 0处的x -x 0x →x 0
导数，记作f '(x ) 令x =x 0+∆x ∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) 则
f ' (x )=lim f (x 0+∆x )-f (x 0) ∆y =lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x
微分的概念:引例：一片边长为x 0的正方形,
它的面积s =x 2其边长从x 0变化到x 0+∆x , 问此正方形的面积改变了多少？
2∆s =(x 0+∆x ) 2-x 0=2x 0∆x +∆x 2
定义1[1]：设函数y =f (x ) 在 U (x 0, r ) 内有定义，且x 0+∆x ∈U (x 0, r ) 如果函数的增量为
∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) 可表示为∆y =A ∆x +o (∆x ) , 则称函数y =f (x ) 在点x 0是可微的，A ∆x 称为函数y =f (x ) 在点x 0相应于自变量的增量∆x 的微分，记为d y ，即d y =A ∆x .
微分的几何意义:微分dy =f ' (x 0)(x -x 0)是曲线y =f (x ) 在点(x 0, f (x 0))的切线在点x 0的纵坐标改量, 如图。
x
极值定义：设f (x ) 在U(x 0, δ) 内有定义，若对任意x ∈u 0(x 0, δ)，恒有f (x ) f (x 0) ) ，则称f (x 0) 是f (x ) 的一个极大值（极小值），点x 0称为f (x ) 的一个极大值点（极小值点）。
函数的极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。 函数导数为0的点称为驻点。驻点和不可导点称为极值的可疑点。
极值的充分条件：
定理[1]（第一充分条件）：设f (x ) 在U(x 0, δ) ) 内连续，在x ∈u 0(x 0, δ)内可导
0，则f (x 0) 为f (x ) 1)若x ∈(x 0-δ, x 0)， f '(x ) > 0，x ∈(x 0, x 0+δ)，f '(x )
的极大值.
2)若x ∈(x 0-δ, x 0)， f '(x ) 0，则f (x 0) 为f (x ) 的极小值.
3)若x ∈(x 0-δ, x 0)，f '(x ) 的符号保留不变，则f (x 0) 不是极值.
[1] 定理（极值的第二充分条件）：设f (x ) 在x 0具有二阶导数，且f ' (x 0) =0
1)若f '' (x 0)
2)若f '' (x 0) > 0，则f (x 0) 为f (x ) 的极小值.
3)若f '' (x 0) =0，则f (x 0) 可能是也可能不是极值.
导数求最值问题的方法：解这类实际问题需要先建立函数关系，再求极值点，确定最值点及最值。
设f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，求f (x ) 在[a, b ]上的最大值与最小值。
(1)求出f (x ) 在(a, b )内的极值也就是f ' (x ) =0时所对应的值
（2）将的极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的那个是最小值. 运用导数确定函数单调区间的一般步骤:
a 求出函数y =f (x )的导数f ' (x ) 。
b 在函数定义域内解求出f ' (x ) >0递增区间，求出f ' (x )
1罗尔定理[1] ：设f (x ) 满足：
1) 在闭区间 [a , b ]上连续。
2) 在开区间(a, b )内可导。
3) f (a ) =f (b )
则在(a, b )内至少存在一点ξ，使f ' (ξ) =0.
2拉格朗日中值定理[1]：设f (x ) 满足：
1) 在闭区间[a , b ]上连续。
2) 在开区间(a, b )内可导。
则在(a, b )内至少存在一点ξ，使f (b ) -f (a ) = f ' (ξ)(b -a ) (ξ∈(a, b )) 若记x =a ，x +∆x =b ，则拉格朗日中值定理的结论可写为：
f (x +∆x )-f (x )=f ' (ξ)∆x ξ 位于x 与x +∆x 之间。
若记ξ=x +ϑ∆x (0
∆y =f (x +θ∆x )∆x
常用的拉格朗日中值公式有下列形式：
①f ' (ξ)=f (b )-f (a ) （ξ介于a 与b 之间）； b -a
②f (b )-f (a )=f ' (ξ)(b -a ) （ξ介于a 与b 之间）；
③f (b )-f (a )=f ' (a +θ(b -a ))(b -a ) (0
④f (x +∆x )-f (x )=f ' (ξ)∆x （ξ介于x 与x +∆x 之间）；
⑤f (x +∆x )-f (x )=f ' (x +θ(x )∆x )∆x (0
⑥f (x +h )-f (x )=hf ' (x +θh ) (0
⑦f ' (ξ)=f (x 2)-f (x 1) （ξ介于x 1与x 2之间）。 x 2-x 1
3. 柯西定理[1] ：设f (x ) ，g (x ) 满足：
1)在闭区间[a , b ]上连续。
2）在开区间(a , b )内可导且g ' (x )=0。
则在(a , b )内至少存在一点ξ(ξ∈(a , b ))，使
4. 经济学中的边际与弹性
边际 在经济学中，边际是变量y 关于变量x 在x 0附近（边缘上）的变化情
况，即x 在x 0附近有微小变化时，变量y 的变化。当x 的变化单位∆x 很小时，由
微分近似计算公式得，∆y |x =x 0≈dy =f '(x 0) ∆x |x =x 0=f '(x 0) ， ∆x =1∆x =1f (b ) -f (a ) f '(ξ) = g (b ) -g (a ) g '(ξ)
因此，边际值f '(x 0) 是当x =x 0，x 改变一个单位，y 改变了f '(x 0) 个单位。
弹性的概念及弹性理论无论在数理经济学的研究，还是在实际应用都会起到重要作用。在经济管理中，弹性对分析产品的需求、供给和收益，给决策者提供
有力可靠的理论依据起到了重要作用。
当自变量x 和因变量y 代表不同背景的实际问题时，其弹性E yx 的意义也不同。如x 代表某种商品的价格，y 代表顾客对该商品的需求量，那么E yx 表示当产品价格有1%的变化时，相应需求的变化为E yx %。由于需求函数一般是减函 数，所以它的边际函数f '(x ) 小于零。因此需求价格弹性E yx 取负值，经济学中常规定需求价格弹性为 E yx =-f '(x ) x f (x )
这样，需求价格弹性便取正值。即便如此，经济学上在对需求价格弹性做经济意义的解释时，也应理解为需求量的变化与价格的变化是反方向的。
经济学中对需求价格弹性有下述规定：当某商品的需求价格弹性E DP >1，则称该商品的需求量对价格富有弹性；当某商品的需求价格弹性E DP
该商品的需求量对价格溃乏弹性；当E DP =1时，则称该商品具有单位弹性。
3导数与微分的应用
3.1导数在函数中的应用
3.1.1求函数极值和最值
1例1：求f (x )＝x 3－x ２－3x ＋１在[-2, 4]点的最大值与最小值 3
解： 由f (x ) 在闭区间[-2, 4]上连续则f ' (x ) =x 2-2x -3
令f ' (x ) =0有x 2-2x -3=0即(x +1)(x -3)=0解得
x １=-1,x２=3 而f (x ) 在[-2, 4]内无导数不存的点
1817由f (-2)＝， f (-1) = f (3)=-5 f (14)=- 333
817所以：min =- max = 33
⎛21⎫
例2：已知f (x )=x 3+ax 2++x +1，a ∈R 设函数f (x ) 在区间 -, -⎪内是减函
⎝33⎭
数求a 的取值范围
解：f (x )=x 3+ax 2++x +1 则f ' (x )=3x 2+2ax +1
⎛21⎫
∵函数f (x ) 在区间 -, -⎪内是减函数
⎝33⎭
722⎛2⎫
∴f ' -⎪≤0即3×（-）2+2a ×（-）+1≤0 a≥
433⎝3⎭11⎛1⎫
f ' -⎪≤0 即3×（-）2+2a×(-)+1≤0 a≥2
33⎝3⎭综上可知a ≥2
(2) 若f '(-1) =0，例3：已知a 为实数，函数f (x ) =(x 2-4)(x -a ) . (1) 求导数f '(x ) ；
求f (x ) 在[-2, 2]上的最大值和最小值.
解：(1) 由原式得f (x ) =x 3-ax 2-4x +4a 则 f '(x ) =3x 2-2ax -4 (2) 由 f '(-1) =0 得a =
f '(x ) =3x 2-x -4
11
，此时 f (x ) =(x 2-4)(x -) 22
44509
或x =-1，又 f () =-f (-1) =, f (-2) =0, f (2) =0，33272
950
所以f (x ) 在[-2, 2]上的最大值为，最小值为-.
227
由 f '(x ) =0 得 x =
例4： 已知函数f (x )=x 2+2x tan θ-1，x ∈[-1, ],其中θ∈(-的取值范围，使f (x )在区间[-1, 3]上是单调函数.
解：f '(x ) =2x +2tan θ，它在[-1, ]上是单调函数，
f '(x )m in =-2+2tan θ，f '(x )max =23+2tan θ，
ππ
, ) ，求θ
22
ππ
当-2+2tan θ≥0， 即θ∈[, ) 时，
42
f ' (x )≥0，f (x )为单调递增函数；
当2+2tan θ≤0， 即θ∈(-
π
, -]时， 23
π
f ' (x )≤0，故f (x )为单调递减函数；
ππππ
综上所述，当θ∈[, ) ⋃(-, -]时，f (x )在区间[-1, 3]上是单调函
4223数.
3.1.2求函数的解析式
例5[6]：设函数y =f (x ) 为三次函数，其图像与y 轴的交点为P ，且曲线在P 点
处的切线方程为24x +y -12=0，若函数在x =2处取得极值-16，求函数的解析式.
解：设f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0) ，则f '(x ) =3ax 2+2bx +c ，依题意有
f '(0) =c . 因为切线24x +y -12=0的斜率为k =-24，所以c =-24.
把x =0代入24x +y -12=0，得y =12.
所以P 点的坐标为(0, 12) ，即求得d =12，此时f (x ) =ax 3+bx 2-24x +12. 由函数f (x ) 在x =2处取得极值-16，
⎧a =1⎧-16=8a +4b -36
则得 ⎨， 解得 ⎨，
b =30=12a +4b -24⎩⎩
所以 f (x ) =x 3+3x 2-24x +12
例6： 设y =f (x ) 为三次函数，且图像关于原点对称，当x =值为，求函数f (x ) 的解析式.
解：设f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (d ≠0) ， 因为其图像关于原点对称，即 f (-x ) =-f (x ) ， 所以 ax 3+bx 2+cx +d =ax 3-bx 2+cx -d ，
则 b =0, d =0, 即 f (x ) =ax 3+cx ，所以 f '(x ) =3ax 2+c .
1
时，f (x ) 的极小2
1311c
依题意 f '() =a +c =0，f () =a +=-1，解得 a =4, c =-3, 故
24282f (x ) =4x 3-3x .
3.1.3判断函数的周期性，奇偶性
例7：若所给的偶函数可导，则其导函数是奇函数。
f (-x +∆x )-f (-x )
∆x →0∆x
f (x -∆x )-f (x ) ＝ lim ∆x →0∆x
f (x +(-∆x ))-f (x ) ＝lim =-f ' (x ) -∆x →0-∆x
证明：设f (x )为偶函数 则f ' (-x )=lim
例8：周期函数若可导，则其导数仍为周期函数。 证明： 设f (x )为周期是T 的函数
f ' (x +T )=lim
f (x +T +∆X )-f (x +T )f (x +∆x )-f (x )=lim =f ' (x ) ∆x →0∆X ∆x
∆x →0
3.1.4求曲线的切线
运用导数的几何意义研究曲线在P （x 0 y0）处的切线方程和法线方程 在求过点P (x 0, y 0) 所作函数y =f (x )对应曲线的切线方程时应先判断该点是否在曲线上.
(1) 当点P (x 0, y 0) 在曲线上，即点P (x 0, y 0) 为切点时，则切线方程为
y -y 0=f '(x 0)(x -x 0).
⎧y 1=f (x 1)
⎪
(2) 当点P (x 0, y 0) 不在曲线上时，则设切点坐标为(x ', y ')，由⎨y 0-y 1
'()f x =1⎪x 0-x 1⎩
先求得切点的坐标，然后进一步求切线方程.
例9：已知抛物线C 1:y =x 2+2x 和抛物线C 2:y =-x 2+a ，当a 取什么值时，C 1和C 2有且仅有一条公切线？写出公切线的方程.
分析：传统的处理方法来解决，但计算量大，容易出错，如能运用导数的几何意义去解，则思路清晰，解法简单.
解：设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)分别是直线l 与C 1、C 2的两个切点. 又C 1:y =x 2+2x ，C 2:y =-x 2+a 的导数分别为：
y '=2x +2，y '=-2x ，所以 2x 1+2=-x 2，即 x 1+x 2=-1
又C 1、C 2有且只有一条公切线，则点A 与点B 重合，x 1=x 2，
111⎛13⎫
所以x 1=x 2=-，即A -, -⎪，有点B 在C 2上，可知a =-，此时l :y =x -.
224⎝24⎭
例10： 已知曲线C :y =x 3-3x 2+2x ，直线l :y =kx ，且l 与C 切与点
(x 0, y 0)(x 0≠0) ，求直线l 的方程及切点坐标.
解：由l 过原点，知k =
y 0
(x ≠0) ，点(x 0, y 0) 在曲线C 上，x 0
y 02
=x 0-3x 0+2 x 0
2
∴y 0=x 0-3x 0+2x 0∴
32
又∵y '=3x 2-6x +2∴k =3x 0-6x 0+2，又 k =∴3x 0-6x 0+2=x 0-3x 0+2∴2x 0-3x 0=0, x 0=
-
2
2
y 0
x 0
2
3
（x 0=0不符合题意） 2
3y 33331
∴y 0=() 3-3⨯() 2+2⨯=-∴k =0==-
x 042228
2
133
所以l 的方程为y =-x ，切点为(, -) .
284
例11：x 2+5xy +y 2+5=0在处切线的斜率。 （1，-2）
解：2x +5(y +xy ' ) +2yy ' =0
(5x +2y )y ' =-5y -2x y ' =-
k
x =1y =-2
5y +2x
5x +2y
=
5⨯(-2)+25⨯1+2⨯-2=8
x 2y 2
=1的一个焦点(1,0)发出的任意光线，经过椭圆反射后， 例12：从椭圆+
43
反射光必经过它的另一个焦点(-1,0)。
证明：假设(x 0, y 0)为椭圆上的任意一点当y 0=0时的结论显然成立设
y 0≠0，则过此点的切线斜率为tan θ=-
3x 0
y 0
y 0
，此连线与切线夹角的正切为 x 0+1
(x 0, y 0)与焦点(-1,0)的连线的斜率为tan θ1=
y 03x
+0
x +14y 0tan θ1-tan θ3=0K==
1+tan θ1tan θ1-00y 0
x 0+14y 0
(x 0, y 0)与另一焦点(1,0)连线的斜率为tan θ2=
-
y 0
此连线与切线夹角的正切为x 0-1
3x 0y
-0
4y 0x 0-13x 0-123tan θ-tan θ2
==K ∴两个夹角的正切相等即两==
x 0y 0-4y 0y 01+tan θtan θ21-004y 0x 0-1
个夹角相等
3.1.5导数的定义求极限
导数的定义多题目中出现的形式灵活多样，较为简单的类型是直接用导数的定义是作适当的变形即能解决问题，导数是由极限定义，所以就能利用导数来求极限
x sin x -
.
例13
：lim
x →
π
4
x -
4
解：令f (x ) =x sin x ，由导数定义可得
x sin x lim
x →
π
4
=f '(π) =(sinx +x cos x ) |=2(1+π).
πx =2444x -
4
例14：f '(x 0) 存在，证明lim
h →0
f (x 0+mh ) -f (x 0+nh ) m -n
=f '(x 0) ，其中m , n , p 为
ph p
常数.
证明：左=lim
h →0
f (x 0+mh ) -f (x 0) +f (x 0) -f (x 0+nh )
ph
=lim
[f (x 0+mh ) -f (x 0)]-[f (x 0+nh ) -f (x 0)]
h →0ph f (x 0+mh ) -f (x 0) n f (x 0+nh ) -f (x 0) m
lim -lim
mh →0nh →0p mh p nh n m -n m
f '(x 0) -f '(x 0) =f '(x 0) .
p p p
=
=
3.2导数解决不等式问题
3.2.1构造辅助证明不等式
利用数得出函数单调性来证明不等式，根据不等式的特点构造函数，用导数
证明函数得到单调性，从而达到证明不等式的目的。
12
x -x +1 21
证明：设g (x ) ＝e x -x 2+x -1
2
例15：x ＞0时 求证e x >
g ' (x )=e x -x +1 g '' (x )=e x -1
'
＞g ' (0)=e 0-0+1=2＞0 当x ＞0时g '' (x )>0 g ' (x )单调递增 g(x)
∴g (x ) 也为单调递增函数 g (x ) ＞g (0)= e0-0-1=0 ∴e x >
12
x -x +1 2
例16：证明在(0,1)上成立 (1+x )ln 2(x +1)
证明：令f (x )=x 2-(1+x )ln 2(1+x ) f ' (x )=2x -ln 2(1+x )-2ln (1+x )
f '' (x )=2-2
ln (1+x )1+x
-2 1+x
＝
2⎡x -ln (1+x )⎤1+x
>0 x ∈(0,1)
f ' (0)=0可知f ' (x )>0 ∵f (0)=0得f (x )>0 ∴(1+x )ln 2(x +1)
例17：证明：当0＜x ＜
π2
时，有不等式x ＜sin x ＜x 2π
证明：令f (x )=x -sin x f ' (x )=1-cos x 当0＜x ＜
π
时 0＜cos x ＜1 ∴f ' (x )＞0 f (x )单调递增 2
2
f (x )＞f (0)=0 得证 sin x ＜x 为证明x ＜sin x
π
'
'
(sin x )x -sin x (x )=x cos x -sin x sin x
设g (x )= g ' (x )=
x x 2x 2
令t (x )=x cos x -sin x
t ' (x )=(x cos x )-(sin x )=cos x +x (-sin x )-cos x =-x sin x ＜0 t (x )为单调递减 当0＜x ＜
'
'
π⎛π⎫
时 t ⎪＜t (x )＜t (0) ∴t (x )＜0 即t (x )=x cos x -sin x ＜0 2⎝2⎭
⎛π⎫⎛π⎫
从而g ' (x )＜0 ∴g (x )在x ∈ 0, ⎪上单调递减 g ⎪＜g (x )＜g (0)
⎝2⎭⎝2⎭
sin x =2 所以得证2x ＜sin x ＜x ＞
πx π2
例18：证明不等式x ∂≤1-∂+∂x （x >0, 0
证明：令f (x )=x ∂-∂x +∂-1
f ' (x )=∂x ∂-1-∂=∂(x ∂-1-1) 令f ' (x )=0得证唯一驻点x ＝１
sin
π
f ' (x )x =1=∂(∂-1)x ∂-2=∂(∂-1)＜0 ∴f (1)=0为极大值
从而是在点(0, +∞)内的最大值
∴x >0 f (x ) ≤f (1)＝0即x ∂≤1-∂+∂x 其中等号仅在x ＝１
时成立。
3.2.2构造辅助求不等式参数的范围
例19[4]：已知a ≥0，函数f (x ) =(x 2-2ax ) e x 在[-1, 1]上是单调函数，求a 的取值范围.
解：f '(x ) =[x 2+2(1-a ) x -2a ]e x ，由 f '(x ) =0， 即 [x 2+2(1-a ) x -2a ]e x =0，解得 x 1, 2=a -1±+a 2(x 1
当a ≥0时， x 1
f (x ) 在(x 1, x 2) 上是减函数，在(x 2, +∞) 上是增函数，所以f (x ) 在[-1, 1]上是单调
函数的充要条件是x 2≥1, ， 即 a -1++a 2≥1，解得 a ≥
33
. 所以a 的取值范围为[, +∞) 44
例20：求出a 的范围，使不等式x 4-4x 3>2-a 对任意的x 都成立.
分析: 将含参数的不等式问题转化为函数问题, 利用导数求得函数最小值, 方可确定出参数的范围.
解：令f (x ) =x 4-4x 3，则 f '(x ) =4x 3-12x 2， 再设f '(x ) =0，可求得 x =0或x =3，
当x
当x >3时，f '(x )>0. 所以x =3时，f (x ) 取得极小值为-27， 从而f (x ) 有最小值为-27，则f (x ) |m in =-27>2-a ， 故有a >29. 解决本题的关键在于构造函数，通过导数判断函数极小值的位置. 3.2.3微分中值定理解决不等式问题 例21：证明：当x >0时，成立不等式
111
证明; 令f (t ) =ln t ，则f (t ) 在[x , 1+x ](x >0) 上满足拉格朗日定理条件，从而有
f (1+x ) -f (x ) =f '(ξ)(1+x -x ) (0
即 ln(1+x ) -ln x =
1
ξ
.
因为0
11111
0) x +1x x
即
例22： 设f (0) =0且在[0, +∞) 上f '(x ) 单调递减，证明对任意a >0，b >0，成立不等式 f (a +b )
证明 :不妨设0
f (a ) -f (0) =f '(ξ1)(a -0) ， f (a +b ) -f (b ) =f '(ξ2)(a +b -b ) 成立，从而有
f (a ) f (a +b ) -f (b )
=f '(ξ1) 所以ξ1又因为f '(x ) 单调递减，从而f '(ξ1) >f '(ξ2) ，于是
f (a +b ) -f (b ) f (a )
，
a a
再由a >0得f (a +b )
例23：设f (x ) 在[0, 1]上连续，在(0, 1) 内可导且f (0) =0，对任意x ∈(0, 1]有
f '(x ) ≤f (x ) ，则在[0, 1]上恒有f (x ) =0.
证明:在区间(0, 1]上任取一点x ，则f (x ) 在[0, x ]上满足拉格朗日定理条件，故存在ξ1∈(0, x ), 使f (x ) -f (0) =f '(ξ) x ,
所以 f (x ) =x f '(ξ1) =x f '(ξ1) ≤x f (ξ1) (0
又f (x ) 在[0, ξ1]上也满足拉格朗日定理条件，故
f (ξ1) -f (0) =f '(ξ2) ξ1 (0
f (x ) ≤x ξ1ξ2 ξn f (ξn +1) (0
n n
因为lim ξ1=0，且由f (x ) 在[0, 1]上连续知f (ξn +1) 有界，所以lim ξ1f (ξn +1) =0，
n →∞
n →∞
由夹逼准则知f (x ) ≡0.
3.3 洛必达法则求未定式的极限
求未定式极限的洛必达法则是柯西中值定理的一个应用，它是求极限的一个
0∞重要方法，应注意只有“”型、“”型的极限才可以直接用洛必达法则，而
0∞
对“0⋅∞，∞-∞，00”型等其他未定式极限，必须通过通分、取对数等变形方
0∞
法将其转化为“”型或“”型后，才能使用洛必达法则。
0∞
3.3.1型不定式极限
1.
型不定式极限 0
若函数f 和g 满足
（I ）lim
x →x 0
f (x )=lim g (x )=0
x →x 0
（II ）在点
x 0的某空心邻域U 0x 内两者都可导且g ' x ≠0
(0)()
f ' (x )g ' x =A 则lim
f (x )g x =lim
x →x 0
（III ）
x →x 0
lim
f ' (x )g ' x x →X 0
=A
“”型不定式
e x -1
例24：lim
x →0x
e x -1e x
解：lim =lim =1
x →0x →01x
例25：lim
sin ax
x →0sin bx
解：lim
sin ax a cos ax a
=lim =
x →0sin bx x →0b cos bx b
x 3-12x +16
例26：lim 3
x →2x -2x 2-4x +8
x 3-12x +163x 2-126x 3
解:lim 3 =lim =lim =
x →2x -2x 2-4x +8x →23x 2-4x -4x →26x -42
π
例27:lim x →+∞
-arctan x 1
x
π
解 :x lim →+∞
-arctan x 1x
-=lim
x →+∞
1
2
1+x 2=lim x =1
x →+∞1+x 2-2x
3.3.2
∞
型不定式极限 ∞
若函数f 和g 满足
（I ）
x →x +0
lim f (x )=lim g (x )=∞ +
x →x
（II ）在
x 0的某右邻域U 0
f ' (x )g x '
+
(x 0)内两者到可导且g ' (x )≠0
f (x )
（III)
x →x +0
lim
=A 则lim +
x →X
g x =lim +
x →x
f ' (x )g x '
=A
例28:lim
ln x
(α>0)
x →+∞x α
1
ln x =lim 1=0 =lim 解 ：x lim →+∞x αx →+∞αx α-1x →+∞αx α
x n
例29: lim x (n >0) 。
x →+∞e
x n n (n -1) x n -2nx n -1n !
解：lim x =lim x =lim = =lim x =0 x x →+∞e x →+∞x →+∞e x →+∞e e
3.3.3其他类型不定式极限
0∞
其他类型不定式极限，经过简单变换吧它们化成或型的极限
0∞1⎫⎛1-例30:lim ⎪ x →1ln x x -1⎭⎝
解 ：这是“∞-∞”型的极限，求解方法是通分或有理化因式将其化为“型或“
”0
0∞
”型极限后用洛必达法则。对本题，通分后化为“”型可两次使用
0∞
洛必达法则。
1
1⎫x -1-ln x ⎛1-=lim lim ⎪=lim
x →1ln x x →1x →1x -1x -1ln x x -1⎭⎝ln x +
x
x -111
=lim =lim =
x →1x ln x +x -1x →1ln x +1+12
1-
sin x ln x 例31:lim +
x →0
这是“0⋅∞”型的极限，求这类极限的方法是将部分函数取倒数变形为 “
1
ln x x 型极限后用洛必达法则， lim +sin x ln x =lim + =lim +
x →0x →0csc x x →0-csc x cot x
-sin 2x x 2
=-lim +=0. =lim +
x →0x cos x x →0x cos x
例32:lim
x →+∞
∞”∞
⎛π⎫-arctan x ⎪⎝2⎭
1
ln x
v (x )
这是“0”型极限，利用对数性质有lim u (x )
x →+∞
=e
x →+∞
lim v (x )ln u (x )
，问题归结
为求“0⋅∞”型极限。本题变形后为“
∞
”型极限，则 ∞
⎛π⎫lim -arctan x ⎪x →+∞2⎝⎭
1
ln x
⎡1⎛π⎫⎤=ex p ⎢lim ln -arctan x ⎪⎥
⎭⎦⎣x →+∞ln x ⎝2
⎧⎡⎤⎫⎪⎢-11⎥⎪⎪⎪
÷⎥⎬ =exp ⎨lim ⎢
x →+∞⎛πx ⎥⎪⎫2⎢⎪-arctan x 1+x )⎥⎪ ⎪(⎢⎪2⎝⎭⎣⎦⎭⎩
⎧⎡x 0⎛π⎫⎤⎫
÷-arctan x =exp ⎨-lim ⎢（“⎬ ⎪⎥2
0⎭⎦⎭⎩x →+∞⎣1+x ⎝2
⎧⎡⎤⎫22
1+x -2x -1⎪ =exp ⎨-lim ⎢ ⎥⎪÷2⎬x →+∞⎢221+x ⎥⎪⎪⎣(1+x )⎦⎭⎩
”
⎛1-x 2
=exp 2 x lim
⎝→+∞1+x ⎫-1⎪=e ⎪⎭
3.4微分在近似值中的应用
在工程问题中，常会遇到一些复杂的计算公式，如果直接用这些公式进行计算，往往会费时费力而利用微分则可把一些复杂性的计算公式用简单的近似公式来代替
3.4.1计算函数的近似值
f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y
由极=lim
∆x →o ∆x ∆x →0∆x ∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0)
≈f '(x 0) ，所以=限的定义知，当∆x 充分小时，
∆x ∆x
函数y =f (x ) 在x =x 0处的导数f '(x 0) =lim
f (x 0+∆x ) ≈f (x 0) +f '(x 0) ⋅∆x ，利用这个公式可求的函数的近似值.
例33.：计算(1.04)
2.02
的近似值
解 ：设函数.f (x , y )=x y 显然, 要计算的值就是函数在x =1.04,y=2.02, 时的函数值 f (1.04, 2.02)取, x =1, y =2,∆x =0.04, ∆y =0.02 由于,
f (x +∆x , y +∆y )≈f (x , y )+f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y
=
x y +yx y -1∆x +x y ln x ∆y
(1.04)
2.02
≈12+2⨯12-1⨯0.04+12⨯ln1⨯0.02=1.08
例34： 不查表，求sin 46︒的值.
解：令y =sin x ，由导数和微分的关系得
sin x ≈sin x 0+(cosx 0) ⋅(x -x 0) ，
πππππ
因 46︒=45︒+1︒=(+， ) rad ，取x 0=，x =+
441804180于是 x -x 0= =
3.4.2. 误差估计
若精确度值为A ，近似值为A, 近似值为a, 那么A -a 称为绝对误差，称为相对误差。
例35： 测量直径为4m 的球时有1%的相对误差，利用公式V=时，相对误差有多大？
解：绝对误差：δd =4×1%=4%
1
绝对误差 δv ＝πd 2. d . 1%
21
＝π×64%=32π%
2δv 32π%
相对误差 ＝＝3%
1v π. 646
，代入上式得 sin 46︒=+ ) =sin +(cos) ⋅[1**********]0
ππππππ
22π
. +⋅=0. 707+10. 0123=0. 7194
22180
A -a a
π
6
d 3计算球的体积
答：相对误差是3%
3.5导数与微分证明恒等式
12x π
例36：证明：当x >1时，arctan x -arccos =. 2
21+x 412x π
分析 令f (x ) =arctan x -arccos -. 当x >1时只要f '(x ) =0，便有2
21+x 4f (x ) =C . 注意到f (1) =0且lim +f (x ) =f (1) ，所以有C =lim +f (x ) =f (1) =0.
x →1
x →1
12x π
证明： 令f (x ) =arctan x -arccos -. 当x >1时有 2
21+x 4
f '(x ) =
11
-1+x 22
-12x
() ' 21+x 2x 2
-() 2
1+x
111+x 22(1+x 2) -4x 2
+⋅ = 1+x 22(1+x 2) 2-4x 2(1+x 2) 2
1x 2-111-x 2
+=-2=0， =2222221+x (x -1)(x +1) (1-x ) (1+x ) 1+x
所以f (x ) =C . 因为f (x ) 在x ≥1时连续，从而
12x π
C =lim +f (x ) =lim +[arctanx -arccos -]=0 2
x →1x →121+x 4
12x π
故f (x ) =C 即arctan x -arccos =. 2
21+x 4
3.6导数与微分探究方程根的存在性或唯一性
例37： 若a >3，则方程x 3-ax 2+1=0在[0, 2]上有多少个根？
解：设f (x ) =x 3-ax 2+1，则f '(x ) =3x 2-2ax ，
当a >0，x ∈(0, 2) 时，f '(x )
而f (x ) 在x =0与x =2处都连续，且f (0) =1>0, f (2) =9-4a
例38：a 取何值时, 关于x 的方程x 2+ax +2=0在(0, 1]上有解？
分析：本题亦可结合二次函数f (x ) =x 2+ax +2的图象, 使得问题转化为区间根分布问题, 但是要分在(0, 1]上有两解和一解两种情况. 采用转化思想将a 与
x 分离开, 利用导数求函数值域, 使得运算量大大减少.
2
解：因为 x 2+ax +2=0，所以 a =-(x +) ，将a 看成x 的函数，
x
2
因为 x ∈(0, 1]， a '=-(1-2)
x
22
所以函数a =-(x +) 在(0, 1]上是增函数， 故a ≤-(1+) =-3.
x 1
例39：设函数f (x ) 在[1, 2]上二阶可导且f (1) =f (2) =0, F (x )=(x -1)f (x ),
2
（1，2）则在内至少存在一点ξ，使F ''(ξ) =0.
证明： 由题设可知，F '(x ) =2(x -1) f (x ) +(x -1) f '(x ) 在[1, 2]上可导，从而
（1，2）F '(x ) 在[1, 2]上连续，在内可导且F '(1) =0，但F '(2) =f '(1) 与F '(1) 是否相等（1，2）未知。注意到F (1) =F (2) =0，且F (x ) 在[1, 2]上连续，在内可导，故F (x ) 在[1, 2]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理可知，存在η∈使F '(η) =0，即（1，2）
F '(η) =2(η-1) f (η) +(η-1) 2f '(η) =0. 于是F '(x ) 在区间[1, η]上满足罗尔定理的
条件，故由罗尔定理可知，存在ξ∈(1, η) ⊂(1, 2) ，使F ''(ξ) =0.
例39：设函数f (x ) =x (x +1)(2x +1)(3x -1) ，试确定方程f '(x ) =0实根的个数。
解：显然函数f (x ) 在(-∞, +∞) 可导，且易知f (x ) 有4个零点x 1=-1，
11111
，x 3=0，x 4=，故f (x ) 在区间[-1, -]，[-, 0]，[0, ]上满足罗尔定22332
111
理的条件，由罗尔定理知，至少存在ξ1∈(-1, -) ，ξ2∈(-, 0) ，ξ3∈(0, ) ，使
223x 2=-
f '(ξ1) =f '(ξ2) =f '(ξ3) =0，即f '(x ) 至少有3个零点。
又因为f (x ) 是四次多项式，所以f '(x ) 是三次多项式，故f '(x ) 至多有3个零点。 综上可得，方程f '(x ) =0恰有3个实根
[2]
例40： 设函数f (x ) 在[1，e ]上可导，且f (1) =0，f (e ) =1，试证：方程f '(x ) =
1
x
在(1, e ) 内至少有一个实根。
证明：作函数F (x ) =f (x ) -ln x ，则F (x ) 在区间[1，e ]上连续，在(1, e ) 内可导，且由f (1) =0及f (e ) =1有
F (1) =f (1) -ln 1=0， F (e ) =f (e ) -ln e =0
所以F (x ) 在区间[1，e ]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理知，至少存在一点
ξ∈(1, e ) ，使
F '(ξ) =[f (x ) -ln x ]'x =ξ=f '(ξ) -
1
ξ
=0，即x =ξ是方程f '(x ) =
1
的一个根。 x
3.7导数与微分的综合应用
3.7．1导数与微分的实际问题建模
例41： 正方形的棱长从4cm 增加到4. 01cm ，它的体积大约增加多少？ 解：设正方形的体积为V ，它放入棱长为L , 则V =L 3, V '(L ) =3L 2， 取L 0=4, ∆L =0. 01, 则
∆V ≈V '(L 0) ⋅∆L =3⨯42⨯0. 01=0. 48(cm 3)
例42：有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm 增大到20.05cm 高度由
100c m 减少到99cm . 求此圆柱体体积变化的近似值.
解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r , h 和v , 则有 v =πr 2h 已知r =20, h =100,∆r =0.05, ∆h =-1. 根据近似公式, 有 ∆v ≈dv =v r ∆r +v h h ∆h =2πrh ∆r+πr 2∆h
=2π⨯20⨯100⨯0.05+π⨯202⨯(-1)=-200π(cm 3). 即此圆柱体在受压后体积约减少了200π(cm 3)
例43 :长14. 8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0. 5m ，那么高为多少时容器的容积最大? 并求出它的最大容积.
解：设容器底面短边为xm , 则另一边长为(x +0. 5) m ，高为
1
[14. 8-4x -4(x +0. 5)]=(3. 2-2x ) m . 4
由 3. 2-2x >0且x >0，得0
设容器的容积为ym 3，则有
y =x (x +0. 5)(3. 2-2x ) =-2x 3+2. 2x 2+1. 6x , (0
所以 y '=-6x 2+4. 4x +1. 6, 令 -6x 2+4. 4x +1. 6=0，即15x 2-11x -4=0，
解得 x 1=1, x 2=-
4
（不合题意，舍去）. 15
当x ∈(0, 1) 时，y '>0；当x ∈(1, 1. 6) 时，y '
所以函数y =-2x 3+2. 2x 2+1. 6x 在(0, 1]上单调递增，在[1, 1. 6) 上单调递减. 因此，当x =1时，y m ax =-2+2. 2+1. 6=1. 8，这时，高为3. 2-2⨯1=1. 2，
故高为1. 2m 时容器的容积最大，最大容积为1. 8m 3
例44:铁路上AB 段的距离为100Km ，工厂C 与A 相距40Km ，AC 垂直于AB ，今要在AB 之间一点D 向工厂C 修一条公路，使原料供应站B 运货到工厂C 所用运费最少，问D 点应该设在何处? 已知每公里的铁路运费和公路运费之比3：5
解：设BD=x （0≤x ≤100）
∵每公里的铁路运费和公路的运费之比是3：5 假设铁路的运费为3元, 公路的运费是5元
则
y =3x +
12
y =3+5⨯⎡1600+(100-x )⎤2⨯2(100-x )⨯(-1)
⎦2⎣
'
-1
=3-5(
100-x =
35100-x 当y ' ＞0 时 3
5100-x ∴70＜x ＜130
∴当0≤x ≤70时y ' ＜0 单调递减
当70≤x ≤100时y ' ＞0 单调递增
∴当x =70时y 最小 则D 点应设在离A 处30Km 处的位置
例45:从南至北的铁路经过B 城, 某工厂A 距此铁路的最短距离为aKm ，距北面之B 城b Km, 为了从A 到B 运输货物最经济, 从工厂建设一条侧轨，若每吨货物沿侧轨运输的价格是P 元/Km而沿铁路q 元/Km 问测轨应向铁路取怎样的角度ϑ？ 解：AD=a BC=b ∠ACD =ϑ
ap (b sin ϑ-a cos ϑ)q ap +bq sin ϑ-aq cos ϑ
+=
sin ϑsin ϑsin ϑ
(ap +bq sin ϑ-aq cos ϑ)sin ϑ-(ap +bq sin ϑ-aq cos ϑ)(sin ϑ)y ' =
sin ϑ
2
' '
= =
(bq cos ϑ+aq sin ϑ)sin ϑ-cos ϑ(ap +bq sin ϑ-aq cos ϑ)
sin 2ϑ
aq -ap cos ϑ
2
sin ϑ
q a q ≥arctan 时ϑ=arccos p b p
当arccos
当arccos
a q a
≤arctan 时ϑ=arctan 相应的运费所需p b b
M=(
b -a cot ϑ)q
3.7.2导数在微观经济中的简单应用
例46： 供给函数为Q =2P 2+3P +1，问当价格P =2时，价格改变一个单位（增
加或减少一个单位），供给量Q 改变多少个单位？ 解：因为
dQ
=11，所以当价格改变一个单位（增加或减少一个单位） dP P =2
供给量Q （增加或减少一个11个单位）。 例47：设某商品的需求函数为Q =100-5P , （1）求需求量对价格的弹性E QP (E QP >0) ； （2）推导
dR
=Q (1-E QP ) ，其中R 为收益，并用弹性E QP 说明在何范围内变化dP
P ∈(0, 20) ，其中Q 为需求量。
时，降价反而使收益增加。
解：（1）E QP =
Q '(P ) 5P P P P
，所以E QP =| P =-=|=
Q (P ) 100-5P P -20P -2020-P
（2）R =PQ =100P -5P 2⇒
dR
=100-10P =(100-5P ) -5P dP
=Q -5P =(Q -QE QP ) +(QE QP -5P ) 。
而(QE QP -5P ) =(100-5P )
P
-5P =5P -5P =0， 20-P
令E QP =1，解得P =10。当10
1，降价反而使收益增加。
4小结
导数和微分的应用是非常丰富，这里只列出了一部分。本文利用导数研究函数的单调性和单调区间; 研究函数极值与最值; 研究曲线的切线问题; 研究不等式的证明问题; 研究函数的零点。在这里我们应用导数的理论推出一种既简便又重
0∞要的不定式极限的计算方法---洛必达法则，洛必达法则适用于或，对于叫0∞
0复杂的1∞，00，∞0型不定式极限一般在求幂指函数的极限时出现，这类题0
0∞型可以通过对数公式及指数函数的连续性转化为型或型不定式，再利用洛必0∞
达法则进行计算。 洛必达法则是求不定式极限行之有效的一种方法。利用微分来求函数在一点增量的近似值；求函数在一点的近似值; 在局部范围内用线性函数代替复杂函数。经济和数学是紧密相连的，经济到数学其实就是一个建模抽象的过程，经济学中的很多领域都必然涉及数学, 物理中的很多也涉及到数学，特别是数学中的一些思维方法在经济学中，物理学中应用很广。
参考文献
[1]华东师范大学数学系编 数学分析[M] 高等教育出版社
[2]数学分析讲义学习辅导书[M] 高等教育出版社〔刘玉琏 王奎元 刘伟 吕凤编〕
[3]窦宝泉，导数在中学教学中的应用[J].数学通讯,2003(12),12-13.
[4]徐智愚, 用导数解初等数学题[J].数学通报,2000(10),35.
[5]高群安, 运用导数巧解题[J].2005(4),22-23.
[6]李绍平. 高考对导数问题考查的五大热点. 中学数学研究[J].2004(5)
[7]徐永忠, 例谈导数法证明不等式[J].中学教学,2003(9),32-33.〕
[8]钱吉林. 数学分析题解精粹[M].武汉:崇文书局,2003.
[9]高鸿业，西方经济学（微观部分）[M]，2006
[10]微积分题型精讲 [M](李正元 周民强)
[11]Lu Jiaxi On Large sets of disjoint Steiner triple
systems ,I-III.Combinat.Theory(A）34（1983），pp.140—182，136—192
第二篇：函数极限的性质证明
函数极限的性质证明
X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限
求极限我会
|Xn+1-A|
以此类推，改变数列下标可得|Xn-A|
|Xn-1-A|
……
|X2-A|
向上迭代，可以得到|Xn+1-A|
2只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。
用数学归纳法：
①证明{x(n)}单调增加。
x(2)=√=√5>x(1);
设x(k+1)>x(k)，则
x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)
=/【√+√】>0。
②证明{x(n)}有上界。
x(1)=1
设x(k)
x(k+1)=√
3当0
当0
构造函数f(x)=x*a^x(0
令t=1/a，则：t>
1、a=1/t
且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)
则：
lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x
=lim(x→+∞)(分子分母分别求导)
=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)
=1/(+∞)
=0
所以，对于数列n*a^n，其极限为0
4
用数列极限的定义证明
3.根据数列极限的定义证明：
(1)lim=0
n→∞
(2)lim=3/2
n→∞
(3)lim=0
n→∞
(4)lim0.999…9=1
n→∞n个9
5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。Lim就省略不打了。。。
n/(n^2+1)=0
√(n^2+4)/n=1
sin(1/n)=0
实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了
第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行
第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的)
第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0
不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0
lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1
limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0
第三篇：函数极限
《数学分析》教案
第三章 函数极限
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第三章 函数极限
教学目的：
1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质； 2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性； 3.掌握两个重要极限
和
，并能熟练运用；
4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。 教学重（难）点：
本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。
教学时数：16学时
§ 1 函数极限概念 （3学时）
教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。
教学要求：使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。会应用函数极限的定义证明函数的有关命题，并能运用语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。
教学重点：函数极限的概念。
教学难点：函数极限的定义及其应用。
一、复习：数列极限的概念、性质等
二、讲授新课：
（一） 时函数的极限：
- 21 《数学分析》教案
第三章 函数极限
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例4 验证
例5 验证
例6 验证
证 由 =
为使
需有
需有
为使
于是, 倘限制 , 就有
例7 验证
例8 验证 ( 类似有
（三）单侧极限:
1．定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义: 介绍半邻域
- 23 《数学分析》教案
第三章 函数极限
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我们引进了六种极限: .以下以极限
,
为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课：
（一）函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.
局部有界性:
3.
局部保号性:
4.
单调性( 不等式性质 ):
Th 4 若使 ，证 设
和都有 =
( 现证对 都存在, 且存在点
的空心邻域
,
有
註: 若在Th 4的条件中, 改“ 就有
5.6. 以
迫敛性:
”为“ 举例说明.
”, 未必
四则运算性质: ( 只证“+”和“ ”)
（二）利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：
- 25 《数学分析》教案
第三章 函数极限
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例8
例9
例10 已知
求和
补充题:已知
求和 (
) § 3 函数极限存在的条件（4学时）
教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。 教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。 教学重点：海涅定理及柯西准则。 教学难点：海涅定理及柯西准则 运用。
教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。 本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限
为例.
一.
Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：
Th 1 设函数在,对任何在点
且
的某空心邻域
内有定义.则极限都存在且相等.( 证 )
存Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为
单调趋于
.参阅[1]P70.例1 证明函数极限的双逼原理.
- 27 《数学分析》教案
第三章 函数极限
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教学难点：两个重要极限的证明及运用。
教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。 一．
（证） （同理有
）
例1
例2 .例3
例4
例5 证明极限 不存在.二.
证 对
有
例6
特别当 等.例7
例8
- 28
29 《数学分析》教案
第三章 函数极限
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三． 等价无穷小：
Th 2 ( 等价关系的传递性 ). 等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3 ( 等价无穷小替换法则 )
几组常用等价无穷小: （见[2]）
例3 时, 无穷小
与
是否等价? 例4
四.无穷大量:
1.定义:
2.性质:
性质1 同号无穷大的和是无穷大.
性质2 无穷大与无穷大的积是无穷大. 性质3 与无界量的关系.
无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果.
3.无穷小与无穷大的关系:
无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大
习 题 课（2学时）
一、理论概述：
- 31 《数学分析》教案
第三章 函数极限
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例7 .求
.注意 时, 且
.先求
由Heine归并原则
即求得所求极限
.
例8 求是否存在.
和.并说明极限
解 ;
可见极限 不存在.
- - 32
高数极限证明
重要极限证明
极限证明（共8篇）
证明函数fx
凸函数证明
推荐专题： 函数极限唯一性的证明