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第一篇：数学高中知识点总结
轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性（也叫做必要性）；凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性（也叫做充分性）。
一、求动点的轨迹方程的基本步骤。
1、建立适当的坐标系，设出动点M的坐标；
2、写出点M的集合；
3、列出方程=0；
4、化简方程为最简形式；
5、检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
1、直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
2、定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
3、相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标（x0，y0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
4、参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
5、交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
求动点轨迹方程的一般步骤：
①建系――建立适当的坐标系；
②设点――设轨迹上的任一点P（x，y）；
③列式――列出动点p所满足的关系式；
④代换――依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简；
⑤证明――证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
第二篇：数学高中知识点总结
一、平面的基本性质与推论
1、平面的基本性质：
公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；
公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；
公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
2、空间点、直线、平面之间的位置关系：
直线与直线―平行、相交、异面；
直线与平面―平行、相交、直线属于该平面（线在面内，最易忽视）；
平面与平面―平行、相交。
3、异面直线：
平面外一点A与平面一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线（判定）；
所成的角范围（0，90）度（平移法，作平行线相交得到夹角或其补角）；
两条直线不是异面直线，则两条直线平行或相交（反证）；
异面直线不同在任何一个平面内。
求异面直线所成的角：平移法，把异面问题转化为相交直线的夹角
二、空间中的平行关系
1、直线与平面平行（核心）
定义：直线和平面没有公共点
判定：不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面（由线线平行得出）
性质：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线就和两平面的交线平行
2、平面与平面平行
定义：两个平面没有公共点
判定：一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行
性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面；如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
3、常利用三角形中位线、平行四边形对边、已知直线作一平面找其交线
三、空间中的垂直关系
1、直线与平面垂直
定义：直线与平面内任意一条直线都垂直
判定：如果一条直线与一个平面内的两条相交的直线都垂直，则该直线与此平面垂直
性质：垂直于同一直线的两平面平行
推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面
直线和平面所成的角：【0，90】度，平面内的一条斜线和它在平面内的射影说成的锐角，特别规定垂直90度，在平面内或者平行0度
2、平面与平面垂直
定义：两个平面所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角）
判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
第三篇：数学高中知识点总结
★高中数学导数知识点
一、早期导数概念――――特殊的形式大约在1629年法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法1637年左右他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时他构造了差分f（A+E）―f（A），发现的因子E就是我们所说的导数f（A）。
二、17世纪――――广泛使用的“流数术”17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展在前人创造性研究的基础上大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”他称变量为流量称变量的变化率为流数相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》流数理论的实质概括为他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程在于自变量的变化与函数的变化的比的构成最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。
三、19世纪导数――――逐渐成熟的理论1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的《百科全书》第五版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点可以用现代符号简单表示{dy/dx）=lim（oy/ox）。1823年柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数如果函数y=f（x）在变量x的两个给定的界限之间保持连续并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值那么是使变量得到一个无穷小增量。19世纪60年代以后魏尔斯特拉斯创造了ε―δ语言对微积分中出现的各种类型的极限重加表达导数的定义也就获得了今天常见的形式。
四、实无限将异军突起微积分第二轮初等化或成为可能微积分学理论基础大体可以分为两个部分。一个是实无限理论即无限是一个具体的东西一种真实的存在另一种是潜无限指一种意识形态上的过程比如无限接近。就历史来看两种理论都有一定的道理。其中实无限用了150年后来极限论就是现在所使用的。光是电磁波还是粒子是一个物理学长期争论的问题后来由波粒二象性来统一。微积分无论是用现代极限论还是150年前的理论都不是最好的手段。
★高中数学导数要点
1、求函数的单调性：
利用导数求函数单调性的基本方法：设函数yf（x）在区间（a，b）内可导，（1）如果恒f（x）0，则函数yf（x）在区间（a，b）上为增函数；（2）如果恒f（x）0，则函数yf（x）在区间（a，b）上为减函数；（3）如果恒f（x）0，则函数yf（x）在区间（a，b）上为常数函数。
利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数yf（x）的定义域；②求导数f（x）；③解不等式f（x）0，解集在定义域内的不间断区间为增区间；④解不等式f（x）0，解集在定义域内的不间断区间为减区间。
反过来，也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）：设函数yf（x）在区间（a，b）内可导，
（1）如果函数yf（x）在区间（a，b）上为增函数，则f（x）0（其中使f（x）0的x值不构成区间）；
（2）如果函数yf（x）在区间（a，b）上为减函数，则f（x）0（其中使f（x）0的x值不构成区间）；
（3）如果函数yf（x）在区间（a，b）上为常数函数，则f（x）0恒成立。
2、求函数的极值：
设函数yf（x）在x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f（x）f（x0）（或f（x）f（x0）），则称f（x0）是函数f（x）的极小值（或极大值）。
可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：
（1）确定函数f（x）的定义域；（2）求导数f（x）；（3）求方程f（x）0的全部实根，x1x2xn，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时，f（x）和f（x）值的
变化情况：
（4）检查f（x）的符号并由表格判断极值。
3、求函数的最大值与最小值：
如果函数f（x）在定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f（x）f（x0），则称f（x0）为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。
求函数f（x）在区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤：（1）求f（x）在区间（a，b）上的极值；
（2）将第一步中求得的极值与f（a），f（b）比较，得到f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值。
4、解决不等式的有关问题：
（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。
f（x）（xA）的值域是[a，b]时，
不等式f（x）0恒成立的充要条件是f（x）max0，即b0；
不等式f（x）0恒成立的充要条件是f（x）min0，即a0。
f（x）（xA）的值域是（a，b）时，
不等式f（x）0恒成立的充要条件是b0；不等式f（x）0恒成立的充要条件是a0。
（2）证明不等式f（x）0可转化为证明f（x）max0，或利用函数f（x）的单调性，转化为证明f（x）f（x0）0。
5、导数在实际生活中的应用：
实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值。在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。
第四篇：高数上册知识点
高等数学（上）知识点
高等数学上册知识点
第一章 函数与极限 （一） 函数
1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算；
3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函
数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点；
f(x)?f(x0)函数f(x)在x0连续 xlim?x0
第一类：左右极限均存在。 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。 无穷间断点、振荡间断点
5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定
理及其推论。
（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限
limxn?a????0, ?N??, ?n?N, xn?a??
n??2） 函数极限
x?x0limf(x)?A????0, ???0, ?x, 当 0?x?x0?? 时， f(x)?A??
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高等数学（上）知识点
??f(x)?limf(x)f(xf(x) 左极限： 右极限：00)?lim??x?xx?x00x?x0??limf(x)?A 存在 ?f(x0)?f(x0)
2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）2）
yn?xn?zn(n?n0)
limyn?limzn?a limxn?a
n??n??n??2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。 3、 无穷小（大）量
1） 定义：若lim??0则称为无穷小量；若lim???则称为无穷大量。 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小 Th1 ?~??????o(?);
?????存在，则 lim?lim（无穷小代换） Th2 ?~??,?~??,lim?????4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；
3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限：
1sinx1xxlim?1lim(1?x)?lim(1?)?e a) x?0 b)x?0x???xx5） 无穷小代换：（x?0）
a) x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx
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12b) 1?cosx~x
2c) e?1~x （a?1~xlna）
xxxlog(1?x)~1?x)~x （ad) ln(lna）
e)
第二章 导数与微分 （一） 导数
1、 定义：f?(x0)?xlim?x0(1?x)??1~?x
f(x)?f(x0)
x?x00左导数：f??(x0)?xlim?x?右导数：f??(x0)?xlim?x?0f(x)?f(x0)
x?x0f(x)?f(x0)
x?x0函数f(x)在x0点可导?f??(x0)?f??(x0)
2、 几何意义：
f?(x0)为曲线y?f(x)在点?x0,f(x0)?处的切线的斜率。
3、 可导与连续的关系： 4、 求导的方法
1） 导数定义； 2） 基本公式； 3） 四则运算；
4） 复合函数求导（链式法则）； 5） 隐函数求导数； 6） 参数方程求导；
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7） 对数求导法。 5、 高阶导数
d2yd?dy???? 1） 定义：2dxdx?dx?2）
(n)k(k)(n?k)??uv?C?nuv Leibniz公式：
k?0n（二） 微分
1） 定义：?y?f(x0??x)?f(x0)?A?x?o(?x)，其中A与?x无关。
f?(x0)?x?f?(x0)dx
2） 可微与可导的关系：可微?可导，且dy?
第三章 微分中值定理与导数的应用 （一） 中值定理
1、 Rolle定理：若函数f(x)满足：
1）f(x)?C[a,b]； 2）f(x)?D(a,b)； 3）f(a)?f(b)；
则???(a,b),使f?(?)?0.
2、 Lagrange中值定理：若函数f(x)满足：
1）f(x)?C[a,b]； 2）f(x)?D(a,b)； 则???(a,b),使f(b)?f(a)?f?(?)(b?a).
3、 Cauchy中值定理：若函数f(x),F(x)满足：
F?(x)?0,x?(a,b) 1）f(x),F(x)?C[a,b]； 2）f(x),F(x)?D(a,b)；3）
f(b)?f(a)f?(?)?则???(a,b),使
F(b)?F(a)F?(?)
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（二） 洛必达法则
注意:1、尽量先化简（有理化、无穷小代换、分离非零因子）再用洛必达法则！如：1?x2?cosxlimx?0tan4x2、对于某些数列极限问题，可化为连续变量的极限，然后用洛必达法则！?a?b??如：lim??n???2??nnn
（三） Taylor公式
n阶Taylor公式：
f??(x0)f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)2??2!(n?1)f(n)(x0)f(?)n ?(x?x0)?(x?x0)n?1n!(n?1)!
?在x0与x之间.
当x0?0时，成为n阶麦克劳林公式：
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f?(0)f??(0)2f(n)(0)nf(n?1)(?)n?1f(x)?f(0)?x?x???x?x
1!2!n!(n?1)!?在0与x之间.
常见函数的麦克劳林公式：
?11ex2nn?1e?1?x?x???x?x1）
2!n!(n?1)!?在0与x之间，???x???；
???sin???(2m?1)?3572m?1xxxx2?2m?1?m?1sinx?x??????(?1)?x2）
3!5!7!(2m?1)!(2m?1)!?在0与x之间，???x???；
???cos??2m?2m?2?x2x4x6x2???x2mm?1cosx?1??????(?1)?3）
2!4!6!(2m?2)!(2m)!?在0与x之间，???x???；
nnn?1x2x3x4x(?1)xn?11?x)?x??????(?1)?4）ln(234n(n?1)(1??)n?1??在0与x之间，?1?x?1
?(??1)2?(??1)(??2)3?(??1)?(??n?1)nx?x???x 5）(1?x)?1??x?2!3!n!??(??1)?(??n)(1??)??n?1(n?1)!xn?1，
?在0与x之间，?1?x?1.
（四） 单调性及极值
1、 单调性判别法：f(x)?C[a,b]，f(x)?D(a,b)，则若f?(x)?0，则f(x)第 6 页 共 14 页
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单调增加；则若f?(x)?0，则f(x)单调减少。 2、 极值及其判定定理：
a) 必要条件：f(x)在x0可导，若x0为f(x)的极值点，则f?(x0)?0. b) 第一充分条件：f(x)在x0的邻域内可导，且f?(x0)?0，则①若当x?x0时，f?(x)?0，当x?x0时，f?(x)?0，则x0为极大值点；②若当x?x0时，f?(x)?0，当x?x0时，f?(x)?0，则x0为极小值点；③若在x0的两侧
f?(x)不变号，则x0不是极值点。
c) 第二充分条件：f(x)在x0处二阶可导，且f?(x0)?0，f??(x0)?0，则
①若f??(x0)?0，则x0为极大值点；②若f??(x0)?0，则x0为极小值点。
3、 凹凸性及其判断，拐点
x1?x2f(x1)?f(x2))?1）f(x)在区间I上连续，若?x1,x2?I, f(，则称f(x)在22区间I 上的图形是凹的；若?x1,x2?I, f(区间I 上的图形是凸的。
2）判定定理：f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上有一阶、二阶导数，则 a) 若?x?(a,b),f??(x)?0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的； b) 若?x?(a,b),f??(x)?0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。
3）拐点：设y?f(x)在区间I上连续，x0是f(x)的内点，如果曲线y?f(x)经过点(x0,x1?x2f(x1)?f(x2))?，则称f(x)在22f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，则称点(x0,f(x0))为曲线的拐点。
（五） 不等式证明
1、 利用微分中值定理； 2、 利用函数单调性；
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3、 利用极值（最值）。 （六） 方程根的讨论
1、 连续函数的介值定理； 2、 Rolle定理； 3、 函数的单调性； 4、 极值、最值； 5、 凹凸性。 （七） 渐近线
f(x)??，则x?a为一条铅直渐近线； 1、 铅直渐近线：limx?af(x)?b，则y?b为一条水平渐近线； 2、 水平渐近线：limx??f(x)?klim[f(x)?kx]?b存在，则y?kx?b为一条斜 3、 斜渐近线：limx??x??x渐近线。
（八） 图形描绘 步骤 :
1. 确定函数y?f(x)的定义域，并考察其对称性及周期性； 2. 求f?(x),f??(x)并求出f?(x)及f??(x)为零和不存在的点； 3. 列表判别函数的增减及曲线的凹向 , 求出极值和拐点; 4. 求渐近线;
5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
第四章 不定积分 （一） 概念和性质
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1、 原函数：在区间I上，若函数F(x)可导，且F?(x)?f(x)，则F(x)称为
f(x)的一个原函数。
2、 不定积分：在区间I上，函数f(x)的带有任意常数的原函数称为f(x)在
区间I上的不定积分。
3、 基本积分表（P188，13个公式）； 4、 性质（线性性）。
（二） 换元积分法
1、 第一类换元法（凑微分）：
2、 第二类换元法（变量代换）：
?f[?(x)]??(x)dx???f(u)du?u??(x)
?f(x)dx???f[?(t)]??(t)dt?t???1(x)
（三） 分部积分法：
?udv?uv??vdu
（四） 有理函数积分 1、“拆”；
2、变量代换（三角代换、倒代换等）。
第五章 定积分 （一） 概念与性质：
1、 定义：
?baf(x)dx?lim?f(?i)?xi
??0i?1n2、 性质：（7条）
性质7 （积分中值定理） 函数f(x)在区间[a,b]上连续，则???[a,b]，使
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?
baf(x)dx?f(?)(b?a) （平均值：
?f(?)?baf(x)dxb?a）
（二） 微积分基本公式（N—L公式） 1、 变上限积分：设?(x)??xaf(t)dt，则??(x)?f(x)
d?(x)f(t)dt?f[?(x)]??(x)?f[?(x)]??(x) 推广：?dx?(x)2、 N—L公式：若F(x)为f(x)的一个原函数，则（三） 换元法和分部积分 1、 换元法：
?baf(x)dx?F(b)?F(a)
?baf(x)dx??f[?(t)]??(t)dt
??2、 分部积分法：（四） 反常积分 1、 无穷积分：
?udv??uv???vdu aababb?????abf(x)dx?lim?f(x)dx
t???at????f(x)dx?lim?f(x)dx
t???t0b??f(x)dx????f(x)dx????0f(x)dx
2、 瑕积分：
??babf(x)dx?limf(x)dx（a为瑕点） ??t?atbaf(x)dx?limf(x)dx（b为瑕点） ??t?bat第 10 页 共 14 页
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两个重要的反常积分：
???, p?1??dx???a1?pp?1) ax, p?1 ??p?1?(b?a)1?q, q?1bb?dxdx2) ?a(x?a)q??a(b?x)q??1?q????,
第六章 定积分的应用 （一） 平面图形的面积
b1、 直角坐标：A??a[f2(x)?f1(x)]dx
2、 极坐标：A?1?2??[?22(?)??21(?)]d?第 11 页 共 14 页
q?1
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（二） 体积
1、 旋转体体积：
a)曲边梯形y?f(x),x?a,x?b,x轴，绕x轴旋转而成的旋转体的体积：
Vx???f2(x)dx
ab b)曲边梯形y?f(x),x?a,x?b,x轴，绕y轴旋转而成的旋转体的体积：
Vy??2?xf(x)dx （柱壳法）
ab2、 平行截面面积已知的立体：V?（三） 弧长
1、 直角坐标：s??2、 参数方程：s?3、 极坐标：s??
第七章 微分方程 （一） 概念
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?A(x)dx
a2bba1??f?(x)?dx
22????(t)????(t)?dt
???????(?)?2????(?)?2d?
高等数学（上）知识点
1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程。 阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。 2、 解：使微分方程成为恒等式的函数。
通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同。 特解：确定了通解中的任意常数后得到的解。
（二） 变量可分离的方程
g(y)dy?f(x)dx，两边积分?g(y)dy??f(x)dx
（三） 齐次型方程
dyyydydu??()，设u?，则?u?xdxxxdxdx； dxxxdxdv??()，设v?，则?v?y 或dyyydydy（四） 一阶线性微分方程
dy?P(x)y?Q(x) dx?y?e用常数变易法或用公式：
（五） 可降阶的高阶微分方程
1、y(n)?P(x)dx?Q(x)e?P(x)dxdx?C??????
?f(x)，两边积分n次；
2、y???f(x,y?)（不显含有y），令y??p，则y???p?；
dp3、y???f(y,y?)（不显含有x），令y??p，则y???pdy
（六） 线性微分方程解的结构
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高等数学（上）知识点
1、y1,y2是齐次线性方程的解，则C1y1?C2y2也是；
2、y1,y2是齐次线性方程的线性无关的特解，则C1y1?C2y2是方程的通解；
*y?Cy?Cy?y3、为非齐次方程的通解，其中y1,y2为对应齐次方程的1122线性无关的解，y非齐次方程的特解。
（七） 常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性方程：
*y???py??qy?0
通 解 122r特征方程：?pr?q?0，特征根： r1,r2
特征根 rxrr?r2 y?C1e?C2e实根 1x r1?r2??
p2 y?(C1?C2x)er1xr1,2???i?y?e?x(C1cos?x?C2sin?x) （八） 常系数非齐次线性微分方程 y???py??qy?f(x)
1、
f(x)?ePm(x)
?x?0, λ不是特征根??*k?xk??1, λ是一个单根 设特解y?xeQm(x)，其中
???2, λ是重根2、
f(x)?e?x?Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x?
*k?x(1)(2)y?xeR(x)cos?x?R设特解mm(x)sin?x??，
??0, ???i不是特征根l, n}，k??其中 m?max{
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