开普勒三定律的数学证明

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开普勒三定律的数学证明

摘 要：本文依次对开普勒第二，第三和第一定律进行详细的数学证明，并用物理学中角动量守恒的方法对开普勒第二定律进行证明。 关键字：开普勒定律；角动量守恒

Mathematical Proofs of Kepler’s Law

Du Yonghao

(Civil Engineering Department of Southeast University, Nanjing 211189, China)

Abstract: My paper particularly derives Kepler’s Second Law, Third Law and First Law in mathematical methods in order. Law of Conservation of Angular Momentum is also applied to derive Kepler’s Second Law.

Key words: Kepler’s Law; Law of Conservation of Angular Momentum

1 前言

开普勒第一定律，也称椭圆定律、轨道定律：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。开普勒第二定律，也称面积定律：在相等的时间内，太阳和运动中的行星的连线（向量半径）所扫过的面积都是相等的。这一定律实际揭示了行星绕太阳公转的角动量守恒。开普勒第三定律，也称调和定律、周期定律：各个行星绕太阳的椭圆轨道的半长轴的立方和它们公转周期的平方成正比[1]。

2 开普勒第二定律证明

2.1 数学方法

令t为行星在t时刻的位失，令rtt为行星在tt时刻的位失。面积A为在

t时刻与tt时刻间行星位失扫过的面积，即t与

ttt所围成的三角形面积，如图1，得：

A

t 所以：

A

t t令t0，得：

图1[2]

dAtrt 1 dt

行星与太阳之间的万有引力是作用在行星上的唯一的力，引力大小为

GMmt

2

，其中m为行

星的质量。根据牛顿第二定律Fma得：



GMmt3

tmtmt

两边同时除以m得：

rt



所以：

GMt

3

t 2

d

rttttttdt

GMt

t

0 3 3

tGMttt

可知向量tt是一个常数，

trt也是一个常数。所以



dA

为一常数。 dt

2.2 物理方法

行星在太阳的引力作用下绕日运动，所以行星受到的引力对太阳的力矩为零，即行星对太阳的角动量L守恒（为常矢量）。根据角动量守恒，

L的大小为：

Lmmrvsin 为常数（其中为与的夹角）

设在足够小的时间dt内，太阳到行星的位矢扫过的的角度很小，于是在dt时间内位矢扫过的三角形面积为：

1

ddt

2 1

dSrvsindt

2

所以位矢扫过的面积的速度为：

u

dS1

rvsin dt2

所以得：

L2mu

根据角动量守恒定律L为常量，所以u为定值。

L

为常量。所以行星运动单位时间内扫过的面积2m

3 开普勒第三定律证明

将太阳置为原点（太阳在行星椭圆轨道的一个焦点上），椭圆长轴在x轴上，如图2。根据椭圆的性质可知FCCF2a，又因为FCCF，所以FCCFa且

2a。

根据勾股定理：

a2b2c2，FBh22c2 如图3

因为2a2ah，所以：



2

2

h22cFB2ah4a24ahh2

2

2



化简得：

c2a2ah

又因为abc，所以：

2

2

2

图2[2]

a2b2c2a2ahbah

2

4

FB与x轴夹角为/2，根据开普勒第一定律得：

r01e1dAhr/22

1ecos/2GMdt

2

1dA

因为bah，h2

GMdt

2

2

图3[2]

2

所以：

2a22a32dA/dt423ab2

Taha 5 dA/dtGMGMdA/dtdA/dt

2

所以开普勒第三定律指出周期的立方和行星与太阳间距的平方成正比。

4 开普勒第一定律证明

令t为t时刻行星的位失，rt

t为行星和太阳的距离，所以rt,t为t时刻行星的极坐标。令u1r/rcosisinj

1sincos，得： 12 2

1

图4[2]

所以：



ddr1



dtdt

rsinrcosrcosrsin r1r2



ddt

rr2

12rr2 因为行星受万有引力方向与其位置方向相反。所以：

rr2

GM

r2 2rr0

令D，得： Dr2

将t0代入Dr0v0,当r0r0时，且

v00成立，可证：

t为任意值时都有 r2r0v0 令qr，根据78：

GMr42

rr2

r2r3GM

r

2

2 qdqdrrv2

00GMr3r

2两边同时对r进行积分得：

q2

2GM112

2rrv0r10r2 0令p1/r，代入9

得：

6 7 8 9

222

r0v0dpp22

122GMpp0v02 dtp0

22

p0GMp0GMdppp0v0v0.d

2

22

dp

d

pGMpGMp002p02v0v0.

2

2

2

2

10

对10分离变量并积分得：

22ppGM/v00

cos12ppGM/v2

000



 

cos

pp0GM/v0

2

222

p0p0GM/v0

r0GM2rv0

2

GM11GMr02

2v0

r0r0v0

11GM

2rr0v0

2

2

2

r0GMGMcosr02v2rv00

r

r0

2

GMGMcosr0v2v2

00

r01e

1ecos

2



r0v0

22

1GM

r0v02

1cos1GM



最后，我们得到r关于的函数：

r

rv

所以e001为行星绕太阳椭圆轨道的离心率。

GM

参考文献

[1] 李敏君, 邱荒逸. 用矢量法证明开普勒三定律[ J]. 高师理科学刊, 2000, 20 (4 ): 49- 52.

[2] [美]Dale Varberg, Edwin J. Purcell, Steven E. Rigdon. 微积分[ M]. 北京: 机械工业出版社, 2009.585- 588.

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