考研高数局部保号性在定理证明中的应用

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第一篇：考研高数局部保号性在定理证明中的应用

Born To Win

考研数学：局部保号性在定理证明中的应用

学习函数极限的性质的时候，有一个重要的性质叫做函数极限的局部保号性，也称为局部保序性，今天跨考教育数学教研室邵伟如老师为大家具体讲解局部保号性在定理证明中的应用知识。

函数极限的局部保号性定理内容为：如果limf(x)A,且A0(或A0)，那么存在

xx00xx0常数0,使得当时，有f(x)0(或f(x)0),即一个函数极限的符号确定的话，求极限的函数在一个邻域内与该点处极限保持相同的符号。这个定理还有一个常用的

x(x0,x0)(x0,x0)时，推论：若存在常数0,使得当有f(x)0(或f(x)0)，且极限xx0limf(x)存在，则

xx0limf(x)0(或0),即在某点的去心邻域内，函数的符号确定的话，那么其极限的符号在这一去心邻域内也能确定。这个定理沟通了函数与极限之间符号之间的关系，所以凡是讨论到极限的符号或函数的符号问题的时候都应该想到应用这个定理去解决。那么，在高等数学中哪些考点哪些定理是应用了局部保号性的呢？下面邵老师为大家做一个整理。

与局部保号性联系最紧密的是函数的极值部分的定理，大家知道，在驻点是可疑的极值点，要判定驻点是否为极值点，有两个方法，一个的极值第一充分条件，一个是极值第二充分条件，如果函数二阶可导的话，显然极值第二充分条件有不可替代的优势，尤其是极值问题与隐函数结合考查的时候。

'''xf(x)0f(x0)0,f(x)00第二充分条件的内容是：设函数在处存在二阶导数且，''''xxf(x)0,f(x0)0,f(x)f(x)000则在处取得极小值；②若则在处取得极大值；③若x则f(x)在0处是否取极值未知.这个定理涉及到了导数的符号问题，所以是依靠局部保号性来证明的。与这个定理平行的另一个定理是判定拐点的第二充分条件，定理内容是：设函

'''"xf(x)0,f(x0)0,则点(x0,f(x0))为曲线f(x)00数三阶可导且在点处有且yf(x)的拐点。 这个定理中一样涉及到导数的符号问题，所以仍是由局部保号性证明的。

再来看一道真题，设函数f(x)有二阶连续导数，

f'(0)0,limx0f"(x)1,x则讨论f(0)是否为极值点，(0,f(0))是否为拐点。这道题非常典型，已知极限的符号，讨论函数的符人生也许就是要学会愚忠。选我所爱，爱我所选。

Born To Win

f"(x)0,x号，明显的局部保号性的使用标志。由极限等于1可知，函数极限在0的左右邻域内符号为正，那么根据保号性，在这一去心邻域内，要求极限的函数而分母恒大于0，所以可以断定，分子f"(x)在去心邻域内大于0，此时不能根据二阶导函数大于0就断定0点为极小值点，因为第二充分条件需要的是f"(0)的符号，不是去心邻域内导函数的符号，那么接下去就根据二阶导函数的符号可以得到一阶导函数在去心邻域内单调递增，而f'(0)0，结合二者可知在0点的左右两侧邻域，一阶导函数符号发生了改变，先减后增，因此0这一点为极小值点，此题得解。从整个分析过程可知，第一步由局部保号性得到的结论在解题过程中起到了至关重要的作用。

经过以上分析我们需要掌握两点：

1、局部保号性定理内容及结论；

2、何时需要考虑使用局部保号性去解决问题。

文章来源：跨考教育

人生也许就是要学会愚忠。选我所爱，爱我所选。

第二篇：18考研高数重要定理证明微积分基本定理

2018考研高数重要定理证明微积分基本定理

来源：智阅网

微积分基本定理是考研数学中的重要定理，考察的频率较高，难度也比较大，下面详细的讲解一下，希望大家有所收获。

微积分定理包括两个定理：变限积分求导定理和牛顿-莱布尼茨公式。

变限积分求导定理的条件是变上限积分函数的被积函数在闭区间连续，结论可以形式地理解为变上限积分函数的导数为把积分号扔掉，并用积分上限替换被积函数的自变量。注意该求导公式对闭区间成立，而闭区间上的导数要区别对待：对应开区间上每一点的导数是一类，而区间端点处的导数属单侧导数。花开两朵，各表一枝。我们先考虑变上限积分函数在开区间上任意点x处的导数。一点的导数仍用导数定义考虑。至于导数定义这个极限式如何化简，笔者就不能剥夺读者思考的权利了。单侧导数类似考虑。

“牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。”这段话精彩地指出了牛顿-莱布尼茨公式在高数中举足轻重的作用。而多数考生能熟练运用该公式计算定积分。不过，提起该公式的证明，熟悉的考生并不多。

该公式和变限积分求导定理的公共条件是函数f(x)在闭区间连续，该公式的另一个条件是F(x)为f(x)在闭区间上的一个原函数，结论是f(x)在该区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数值的差。该公式的证明要用到变限积分求导定理。若该公式的条件成立，则不难判断变限积分求导定理的条件成立，故变限积分求导定理的结论成立。

注意到该公式的另一个条件提到了原函数，那么我们把变限积分求导定理的结论用原函数的语言描述一下，即f(x)对应的变上限积分函数为f(x)在闭区间上的另一个原函数。根据原函数的概念，我们知道同一个函数的两个原函数之间只差个常数，所以F(x)等于f(x)的变上限积分函数加某个常数C。万事俱备，只差写一下。将该公式右侧的表达式结合推出的等式变形，不难得出结论。

上面讲述的微积分基本定理是考研数学的高频考点，考生们要认真学习其解题方法，并且学会运用。汤神《考研数学接力题典1800》可以检验大家的复习效果，总结做题经验，对我们现阶段的复习帮助很大。

第三篇：12年考研数学高数中的重要定理与公式及其证明

高数中的重要定理与公式及其证明

（一）

文章来源：跨考教育

考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。

现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。

1）常用的极限

lim

ln(1x)

x

1，lim

e1x

x

x0x0

1，lim

a1x

x

x0

lna，lim

(1x)1

x

a

x0

lima，

1cosx

x

2

x0



12

【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想

过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限lim(1x)xe与

x0

lim

sinxx

x0

1的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技

巧。 证明：

lim

ln(1x)

x

x0

1：由极限lim(1x)xe两边同时取对数即得lim

x0

ln(1x)

x

x0

1。

lim

e1x

x

x0

1：在等式lim

ln(1x)

x

x0

1中，令ln(1x)t

te1

t

，则xet1。由于极限

过程是x0，此时也有t0，因此有lim

t0

1。极限的值与取极限的符号

是无关的，因此我们可以吧式中的t换成x，再取倒数即得lim

lim

a1xe

x

e1x

x

x0

1。

x0

lna：利用对数恒等式得lim

a1x

x

x0

lim

e

xlna

1

x0

x

x

，再利用第二个极限可

xlna

得lim

1

x0

x

lnalim

e

xlna

1

x0

xlna

lna。因此有lim

a1x

x0

lna。

lim

(1x)1

x(1x)1

x

a

a

x0

a：利用对数恒等式得

lim

x0

lim

e

aln(1x)

1

x0

x

alim

e

aln(1x)

1ln(1x)

x

x0

aln(1x)

alim

e

aln(1x)

1

x0

aln(1x)

lim

ln(1x)

x

x0

a

上式中同时用到了第一个和第二个极限。

x

2sinsin

1cosx1cosx11limlimlim：利用倍角公式得lim222

x0x0x0x2xx2x0x

2

x

1

2

。

2）导数与微分的四则运算法则

(uv)uv,d(uv)dudv(uv)uvuv,d(uv)vduudv()

vu

''

'

'

'

'

'

vuuvv

''

uvduudv

,d()(v0)2

vv

【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。

而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。 3）链式法则

设yf(u),u(x)，如果(x)在x处可导，且f(u)在对应的u(x)处可导，则复合函数yf((x))在x处可导可导，且有：

f((x))

【点评】：同上。 4）反函数求导法则

'

f(u)(x)或

''

dydx



dydududx

设函数yf(x)在点x的某领域内连续，在点x0处可导且f'(x)0，并令其反函数为xg(y)，且x0所对应的y的值为y0，则有：

g(y0)

'

1f(x0)

'



1f(g(y0))

'

或

dxdy



1dydx

【点评】：同上。

5）常见函数的导数

x



'

x

'

1

，

'

sinxlnx

'

cosx，cosxsinx， 1x

x



，logax

'

'

1xlna

，

e

x



'

e

，axexlna

【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。实际上，掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对极限的计算也是很好的练习。现选取其中典型予以证明。 证明：

x



'

x

1

：导数的定义是f'(x)lim





f(xx)f(x)

x

，代入该公式得

)1

x

1



x0

x





'

lim

(xx)x

x

(1x



x

x0

xx

)1

x

1

x0



(1lim

x

xxx

。最后一

步用到了极限lim

x0

(1x)1

x

a

x0

a。注意，这里的推导过程仅适用于x0的情形。

的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给大家。

'

sinxcosx：利用导数定义sinxlim

'

sin(xx)sinx

x

，由和差化积公式得

x0

x0

lim

sin(xx)sinx

x

2cos(x

lim

x0

xx

)sin

x

cosx。cosx'sinx的证明类

似。

lnx

'



'

1x

：利用导数定义lnxlim

1xlna

'

ln(xx)lnx

x

lnxlna

ln(1

lim

x0

x)

1x

x0

x

。

logax

的证明类似（利用换底公式logax

）。

e

x

'

e

x

：利用导数定义e

x



'

lim

e

(xx)

e

x

x0

x

lime

x0

x

e

x

1

x

e。a

x

x



'

elna

x

的

证明类似（利用对数恒等式axexlna）。

第四篇：18考研数学之高数考点预测中值定理证明_毙考题

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2018考研数学之高数考点预测：中值定理证明

中值定理证明是高等数学重点难点，今年很有可能会考到，冲刺时间不多，小编带大家来把这些考点回顾巩固下： 中值定理是考研数学的重难点，这一类型的问题，从待证的结论入手，首先看结论中有无导数，若无导数则采用闭区间连续函数的性质来证明(介值或零点定理)，若有导数则采用微分中值定理来证明(罗尔、拉格朗日、柯西定理)，这个大方向首先要弄准确，接下来就待证结论中有无导数分两块来讲述。

一、结论中无导数的情况

结论中无导数，接下来看要证明的结论中所在的区间是闭区间还是开区间，若为闭区间则考虑用介值定理来证明，若为开区间则考虑用零点定理来证明。

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第五篇：考研数学定理证明

考研数学定理证明

不一定会考，或者说是好像近几年也就是09年的考题出过一道证明题(拉格朗日中值定理的证明)。但准备时最好把课本上几个重要定理(比如中值定理)的证明看下，做到会自己证明。还有就是几个证明过程或方法比较奇特的定理，要看懂证明。一个可以应付直接考证明题，还可以借鉴证明思路帮助自己解其他题目，算是开扩思路吧，总之看下会有好处的，而且也不是很多，比照课本自己总结下吧，我去年就是这么整理的。数学140+

定理的证明属于比较难的，可以不看。很多人看都看不懂，或者看懂了也不会用。

但是定理的结论和应用一定要会。

考研里的证明题属于压轴的，大部分人都做不出来，所以不用担心。只要把基本盘拿下，你的分数就应该能过国家线。

祝你成功。

呵呵非常理解你的处境。我觉得这个问题不难解决，主要有两个办法。下面帮你具体分析一下，呵呵～

一。旁听师弟师妹的数学课～优点：不仅经济，便利，而且对老师的水平有保证～因为都是你们学校的嘛，你可以事先充分打听好哪个老师哪门课讲得好，然后还能比较容易获取课程进度，这样就可以专门去听自己不懂得那块，针对性强矮甚至你下课后还可以就不懂得习题跟老师请教一下～就本人这么多年的上学经验，老师对“问题学生”都是欢迎的，至少不排斥～缺点：由于不是专门针对考研复习的讲授，有些东西可能不是很适合～举个例子吧，比如将同样的知识，高一时候和高三第一轮复习时，讲的侧重点就不一样～(但是个人觉得这不算什么大缺点～嘿嘿～)

二。报名参加专门的考验辅导班。优点显而易见。老师肯定都是有多年考研辅导经验的，指导复习当然针对性强，有事半功倍的效果。缺点就是，嘿嘿，学费问题。你所在地的学费情况我就不清楚了，你可以自己去查一下～

还有一句话想说，其实这两个办法也不是对立的，你可以在学校里去旁听老师的课，把第一轮扎扎实实的复习完，放假回家去报名参加个辅导班，利用假期有针对性的做第二轮复习～相信两轮复习下来，你的长进一定不蝎呵呵～

我就说这么多，要是以后想起来了会再来补充的～最后祝你如愿考上理想院校哦～加油

也不知道一楼是哪个名校数学系的研究生，广州大学吗?这么有才华!听他的话等楼主没考到130哭的地方都找不到。

考研每一门学科都要复习好几轮，也不知道楼主考什么专业，数学几?

基础差的话第一轮复习要弄清楚定理及其证明过程。如果应届本科生又是学理科，平时成绩不错，高数，线性分都很高的话第一轮可以直接看教材做题。

推荐专题： 函数极限的局部保号性证明