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梅涅劳斯（Menelaus ）定理的十种证明 作者：杨春波
来源：《中学数学杂志(高中版) 》2015年第05期
梅涅劳斯定理是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要作用，其具体内容为：设直线l 分别与△ABC 的三边（或边的延长线）相交于点D 、E 、F ，则有
AFFB·BDDC·CEEA=1.
直线l 与三角形的三边相交，有两种情形：（1）其中两个交点在边上，一个交点在边的延长线上，如图1；（2）三个交点均在边的延长线上，如图2. 图1图2
梅涅劳斯定理在处理直线形中线段长度比例的计算时，尤为快捷. 值得一提的是，其逆定理也成立，可作为三点共线、三线共点等问题的判定方法. 下面给出梅涅劳斯定理的十种精彩证明，证明中仅以图1作为示例.
证法1平行线法
如图3，过点C 作CG ∥DF 交AB 于点G ，则BDDC=BFFG，CEEA=GFFA，故 AFFB·BDDC·CEEA=AFFB·BFFG·GFFA=1.
图3图4
证法2共边定理法
如图4，由共边定理知AFFB·BDDC·CEEA=AEDBED·BEDCED·CEDAED=1. 证法3共角定理法
如图1，由共角定理知
△AEF △BFD=AF·EFFB·DF ，BFDCDE=BD·DFDC·DE ，CDEAEF=DE·CEEA·EF ， 三式相乘得1=AF·EFFB·DF·BD·DFDC·DE·DE·CEEA·EF=AFFB·BDDC·CEEA ，得证. 注共边定理和共角定理源自于张景中院士的面积法[1]，下面是定理的具体内容.
共边定理若直线AB 和PQ 相交于点M （如图5，有4种情形），则有PABQAB=PMQM. 图5图6
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