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弦切角定义
顶点在圆上,一边和圆相交,另
图示
一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角) 如右图所示,直线PT切圆O于点C,BC、AC为圆O的弦,∠TCB,∠TCA,∠PCA,∠PCB都为弦切角。
弦切角定理 弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. 弦切角定理证明: 证明一:设圆心为O,连接OC,OB,。 ∵∠TCB=90-∠OCB ∵∠BOC=180-2∠OCB ∴,∠BOC=2∠
TCB(定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半) ∵∠BOC=2∠CAB(圆心角等于圆周角的两倍) ∴∠TCB=∠CAB(定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角) 证明已知:AC是⊙O的弦,AB是⊙O的切线,A为切点,弧是弦切角∠BAC所夹的弧. 求证:(弦切角定理) 证明:分三种情况:
(1) 圆心O在∠BAC的一边AC上 ∵AC为直径,AB切⊙O于A, ∴弧CmA=弧CA ∵为半圆, ∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角
B点应在A点左侧
(2) 圆心O在∠BAC的内部. 过A作直径AD交⊙O于D, 若在优弧m所对的
劣弧上有一点E 那么,连接EC、ED、EA 则有:∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB ∴ ∠CEA=∠CAB ∴ (弦切角定理)
(3) 圆心O在∠BAC的外部, 过A作直径AD交⊙O于D 那么 ∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90 ∴∠CDA=∠CAB ∴(弦切角定理)
弦切角推论
推论内容
若两弦切角所夹的弧相等,则这两个弦切角也相等
应用举例
例1:如图,在Rt△ABC中,∠C=90,以AB为弦的⊙O与AC相切于点A,∠CBA=60° , AB=a 求BC长. 解:连结OA,OB. ∵在Rt△ABC中, ∠C=90 ∴∠BAC=30° ∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半)
例2:如图,AD是ΔABC中∠BAC的平分线,经过点A的⊙O与BC切于点D,与AB,AC分别相交于E,F. 求证:EF∥BC. 证明:连DF. AD是∠BAC的平分线 ∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC ⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDC EF∥BC
例3:如图,ΔABC内接于⊙O,AB是⊙O直径,CD⊥AB于D,MN切⊙O于C, 求
证:AC平分∠MCD,BC平分∠NCD. 证明:∵AB是⊙O直径 ∴∠ACB=90 ∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B, ∵MN切⊙O于C ∴∠MCA=∠B, ∴∠MCA=∠ACD, 即AC平分∠MCD, 同理:BC平分∠NCD.