函数极限的性质证明

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§3.2 函数极限的性质

§2函数极限的性质

Ⅰ. 教学目的与要求

1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性，迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题.

2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限.

Ⅱ. 教学重点与难点:

重点: 函数极限的性质.

难点: 函数极限的性质的证明及其应用.

Ⅲ. 讲授内容

在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：

1)limfx ；2)limfx；3)limfxxxx

fx；6)limfx。 4)limfx； 5)limxx0xx0xx0

它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质．至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应地作些修改即可.

定理3．2(唯一性)若极限limfx存在，则此极限是唯一的． xx0

证设,都是f当xx0时的极限，则对任给的0，分别存在正数

1与2，使得当0xx01时有

fx ，(1)当0xx02时有

fx ，(2)

取min1,2，则当0xx0时，(1)式与(2)式同时成立，故有

(fx)fxfxfx2

由的任意性得，这就证明了极限是唯一的.

定理3。3（局部有限性）若limfx存在，则f在x0的某空心邻域U0x0内有界． xx0

证设limfx．取1，则存在0使得对一切xU0x0;有 xx0

fx1fx1

这就证明了f在U0x0;内有界．

定理3．4(局部保号性)若limfx0 (或0)，则对任何正数r（或xx0

r)，存在U0x0，使得对一切xU0x0有

fxr0（或fxr0）

证设0，对任何r(0,)，取r，则存在0，使得对一切

xU0x0;

fxr，

这就证得结论．对于0的情形可类似地证明．

注在以后应用局部保号性时，常取rA．2

xx0定理3．5(保不等式性)设limfx与都limgx都存在，且在某邻域U0x0;'内xx0

有fxgx则

limfxlimgx（３）xx0xx0

证设limfx=，limgx=，则对任给的0，分别存在正数1与2使xx0xx0

得当0xx01时有

fx， 当0xx02 时有

gx

令min',1,2，则当0xx0时，不等式fxgx与(4)、(5)两式同时成立，于是有

fxgx

从而2．由的任意性推出，即(3)式成立．

定理3．6(迫敛性)设limfx=limgx=Ａ，且在某U0x0;'内有 xx0xx0

fx

则limhx． xx0hxgx

证按假设，对任给的0，分别存在正数1与2，使得当0xx01时有，

2fx(7)当0xx02时有

gx(8)令min,1,2，则当0xx0时，不等式(6)、(7)、(8)同时成立， 故有

fxhxgx

由此得hx，所以limhx xx0'

定理3．7（四则运算法则）若极限limfx与limgx都存在，则函数 xx0xx0

fg,fg当xx0时极限也存在，且

1)limfxgxlimfxlimgx； xx0xx0xx0

2）limfxgxxx0xx0limfx．limgx； xx0

又若limgx0，则f|g当xx0时极限存在，且有 xx0

3）limxx0fxgxxx0limfxlimgx． xx0

这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给学生作为练习．

利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发，计算较复杂的函数极限．

例 1求limxx0x

解当x0时有

1xx1， x1 1

1x1故由迫敛性得：xlim而limx=1 0x0x

另一方面，当x0有1x1x，故又由迫敛性又可得：lim x1 x0xx

综上，我们求得lim x1 x0x

3 1111

例 2求limxtanx1

x

解由xtanxxsinx及§1例4所得的， cosx

sixnsilim

x442limcoxs， 2x4

并按四则运算法则有

limsinx

xtanx1=limxlim

xx44x

4limcosxx1=limx41

4例 3求lim313． x1x1x1

解 当x10时有

x1x2x2133x1x1x31x2x1

故所求的极限等于

x2121 2x1x2x1111lim

例4证明lima1a1 x

x0

证任给0 (不妨设1)，为使

xa1（9）

即1a1，利用对数函数loga

loga1xloga1

于是，令x（当a1时）的严格增性，只要 minloga1,loga1， 则当0x时，就有(9)式成立，从而证得结论．

Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解掌握函数极限的性质，并利用其讨论相关命题.指导学生对定理的应用作总结.

Ⅴ 课外作业: P51

2、

3、

5、

7、

8、9.

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