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第一篇：重要极限的证明
1. 求证：sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ/(2n+1))=√(2n +1)/2^n, Sol:复数方法：
复数方程 z^(2n＋1) ＝1的根是 a1，a2，a3，... ，a(2n)，1。
其中，ak ＝cos(2kπ/(2n+1))＋i sin(2kπ/(2n+1))，k ＝1，2，... ，2n 。 所以，ak ＝(a1)^k
所以，z^(2n＋1) －1＝(z－a1)(z－a2)...(z－a(2n))(z－1) ，即
(z－a1)(z－a2)...(z－a(2n))＝(z^(2n＋1) －1)/(z－1) ＝z^(2n)＋z^(2n－1) ＋... ＋z ＋1。
两边令z ＝1，并取模，则：
|1－a1|×|1－a2|×...... ×|1－a2n|＝2n ＋1......... （*)
因为，|1－ak|＝√|(cos(2kπ/(2n+1))－1)) ＋i sin(2kπ/(2n+1))|＝2×sin(kπ/(2n+1))，所以由(*)式得：
2^n×sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ/(2n+1))＝2n ＋1。
所以，sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ/(2n+1))＝√(2n＋1)/2^n
2. 三角函数
求证：sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ
/(2n+1))=√(2n +1)/2^n.
证:sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))........sin(nπ/(2n+1))=√(2n +1)/2^n
设Z=cos2π/(2n+1)+ isin2π/(2n+1)
则x^(2n+1)=1的根为1,z,...z^2n
得x^2n+...+x+1=(x-z)(x-z^2)...(x-z^2n)
2n+1=｜(1-z)｜｜(1-z^2)｜... ｜(1-z^2n)｜...(1)
又｜(1-z^k)｜=2sinkπ/(2n+1)...(2)
|1-z^k| = |1-(cos(2kπ/(2n+1)) +sin(2kπ/(2n+1)) )|
=|1-cos(2kπ/(2n+1))) -sin(2kπ/(2n+1)) )|
=√((1-2cos(2kπ/(2n+1)) +cos^2 (2kπ/(2n+1))) + sin^2 (2kπ/(2n+1))) =√(2-2cos(2kπ/(2n+1)) )
=√(4sin^2(kπ/(2n+1))
=2sin(kπ/(2n+1)
故
2n+1 =( n(π/(2n+1)). n(2π/(2n+1)) n(3π/(2n+1))........ n(2nπ/(2n+1)) 两边开方, 得
sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))........sin(nπ/(2n+1)) =√(2n+1) / 2^n
另外那个类似, 可以尝试自己证一下.
3. 为什么sin π／n+sin2π／n......+sin(n-1)π／n=cotπ／2n?
解：2 sin [π／(2n)]·sin(π／n)= cos [π／n -π／(2n)]- cos [π／n +π／(2n)]= cos [π／(2n)]- cos [3π／(2n)]2 sin [π／(2n)]·sin(2π／n) = cos [2π／n -π／(2n)]- cos [2π／n+π／(2n)]= cos [3π／(2n)]- cos
[5π／(2n)]2 sin [π／(2n)]·sin(3π／n)= cos [3π／n -π／(2n)]- cos [3π／n +π／(2n)]= cos [5π／(2n)]- cos [7π／(2n)]……2 sin [π／(2n)]·sin[(n-1)π／n]= cos [(n-1)π／n -π／(2n)]- cos [(n-1)π／n +π／(2n)]= cos [(2n-3）π／(2n)]- cos [(2n-1)π／(2n)]
故：2 sin [π／(2n)] ·｛sin(π／n)+sin(2π／n)+......+sin[(n-1)π／n]｝= cos [π／(2n)]- cos [(2n-1)π／(2n)]= cos [π／(2n)]- cos [π-π／(2n)]=2 cos [π／(2n)]
故：sin(π／n)+sin(2π／n)+......+sin[(n-1)π／n]= cos[π／(2n)]/ sin
[π／(2n)]= cot [π／(2n)]
4. 级数sin n/(n+1)收敛还是发散, 如果收敛, 是绝对收敛还是条件收敛, 为什么? Sol:收敛,Dirichlet 判别法. 这是最典型的一个用Dirichlet 判别法判别收敛的例子.sinn 的部分和＝[sin1/2(sin1+sin2+...+sinn)]/sin1/2（积化和差公式）＝[cos1/2-cos(2n+1)/2)]/sin1/2,于是有界,1/(n+1)单调递减趋于0, 收敛. 不绝对收敛.|sinn/(n+1)|>=sin^2n/(n+1)=[1-cos(2n)]/2(n+1).类似用Dirichl et 判别法知道级数cos2n/(n+1)收敛, 但级数1/(n+1)发散, 于是易知不绝对收敛. 建议记住这个典型例子.
o n ln c n +ln c 1
n +... +ln c n 求lim =I . 2x →∞n
2n
n ln o n ln c n +ln c 1+... +ln c =n ln 2-ln n =ln 2-1ln n n n sol :≤ n 2n 2n n
I =ln2
5. 求sin π/n*sin2π/n*…*sin(n-1)π/n的值, 用复数思想
6. 三角函数连乘(正弦) 求证：sin[π/(2n+1)]*sin[2π/(2n+1)]*sin[3π/(2n+1)]*……*sin[nπ/(2n+1)]=(根号下2n-1)/2^n
Sol: 7. 证一般项级数∑sin √(n^2+1)π条件收敛
Sol:∵sin √(n²+1)π =[(-1)^n]sin[√(n²+1)π-n π]
=[(-1)^n]sin[√(n²+1)-n]π
=[(-1)^n]sin{1/[√(n²+1)+n]}π
lim(n→∞)[sin{1/[√(n²+1)+n]}π]/(1/n) =lim(n→∞)n π/[√(n²+1)+n]
=π/2
∴∑sin{1/[√(n²+1)+n]}与∑1/n有相同的敛散性, 即∑sin{1/[√(n²+1)+n]}π发散 lim(n→∞)sin{1/[√(n²+1)+n]}π=0,且sin{1/[√[(n+1)²+1]+(n+1)]}π≤sin{1/[√(n²+1)+n]}π
由莱布尼兹判别法知lim[(-1)^n]sin{1/[√(n²+1)+n]}π收敛
∴原级数条件收敛
其他回答:sin √(n^2+1)π=(-1)^n sin(√(n^2+1)π+nπ)
再利用分子有理化可得：(-1)^n sin(π/[根号(n^2+1)+n])
利用 Dirichlet判别法可知级数收敛。
而它的绝对值级数可以等价为：sin(π/[根号(n^2+1)+n])~π/[根号(n^2+1)+n]~1/n即发散。
9.Sin(π/n) ×sin(2π/n) ×sin(3π/n) ×…×sin[(n-1)π/n]=n×2^(1-n) 这等式怎么证? 大概要从哪个方面入手? sin(π/n) ×sin(2π/n) ×sin(3π/n) ×…×sin[(n-1)π/n]=n×2^(1-n) 用复数
w=cos(2π/n)+isin(2π/n)
w'=cos(2π/n)-isin(2π/n)
z^n=1
(z-1)(z^(n-1)+z^(n-2)＋……＋z+1)=0
z^(n-1)+z^(n-2)＋……＋z+1=(z-w)(z-w^2)(z-w^3)……（z-w^(n-1)） 令
z=1
n ＝(1-w)(1-w^2)(1-w^3)…(1-w^(n-1)）
1-w^k=2sinkπ/n(sinkπ/n+icoskπ/n)
|1-w^k|=|2sinkπ/n(sinkπ/n+icoskπ/n)|=|2sinkπ/n||(sinkπ/n+icoskπ/n)|=|2sinkπ/n|=2sin(kπ/n)
取模
|n|＝|(1-w)(1-w^2)(1-w^3)…(1-w^(n-1))|
|n|＝|(1-w)||(1-w^2)||(1-w^3)|…|(1-w^(n-1))|
n=2^(n-1)sin(π/n)sin(2π/n)……sin[(n-1)π/n]
得证
第二篇：重要极限的证明
重要极限的证明
重要极限的证明极限是e
a>0
在n比较大时，(1+(1-a)/n)^n<=原式<=(1+1/n)^n
取极限后，e》=原式的上极限》=原式的下极限》=e^(1-a)
由a的任意性，得
极限为e
利用极限存在准则证明：
(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;
(2)证明数列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。
1)用夹逼准则:
x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0
且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0
故(Inx/x^2)的极限为0
2)用单调有界数列收敛:
分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a
x0>√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2<0,单调递减
且Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.
设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.
对原始两边求极限得A=[A+(a/A)]/2.解得A=√a
同理可求x0<√a时,极限亦为√a
综上,数列极限存在,且为√
(一)时函数的极限：
以 时 和 为例引入.
介绍符号: 的意义, 的直观意义.
定义 ( 和 . )
几何意义介绍邻域 其中 为充分大的`正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证 例2验证 例3验证 证 ……
(二)时函数的极限：
由 考虑 时的极限引入.
定义函数极限的“ ”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4 验证 例5 验证 例6验证 证 由 =
为使 需有 为使 需有 于是, 倘限制 , 就有
例7验证 例8验证 ( 类似有 (三)单侧极限:
1.定义：单侧极限的定义及记法.
几何意义: 介绍半邻域 然后介绍 等的几何意义.
例9验证 证 考虑使 的 2.单侧极限与双侧极限的关系:
Th类似有: 例10证明: 极限 不存在.
例11设函数 在点 的某邻域内单调. 若 存在, 则有
= §2 函数极限的性质(3学时)
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限: , .以下以极限 为例讨论性质. 均给出证明或简证.
二、讲授新课：
(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性( 不等式性质 ):
Th 4若 和 都存在, 且存在点 的空心邻域,使 ， 都有 证 设 = ( 现证对 有 )
]:若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有 以 举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:( 只证“+”和“ ”)
(二)利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：
(注意前四个极限中极限就是函数值 )
这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.
例1( 利用极限 和 )
例2例3]:关于 的有理分式当 时的极限.
例4 [ 利用公式 ]
例5例6例7